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TRIPLETS de PYTHAGORE

Complémentés

a² + b² + a + b = c² + c

a(a+1) + b(b+1) = c(c+1)

Exemple amusant avec 3, 4, 5, 6, et 7

Triplets complémentés
Définition Triplets de la forme: a² + b² + a + b = c² + c En factorisant: a(a+1) + b(b+1) = c(c+1) Exemple Le plus petit: 2² + 2² + 2 + 2 = 3² + 3 = 12 2x3 + 2x3 = 3x4 = 12 Le suivant est amusant dans sa forme factorisée: 3² + 5² + 3 + 5 = 6² + 6 = 42 3x4 + 5x6 = 6x7 = 42 Propriétés Ils sont très nombreux et sans doute en nombre infini. La somme S est toujours paire. Si c est pair, alors c² + c est pair. Si c est impair, alors (2k + 1)² + 2k + 1 = 4k² + 6k + 2 est paire Contrairement aux triplets ordinaires, il n'existe pas de triplet complémenté primitif. a² + b² + a + b = c² + c 2a² + 2b² + 2a + 2b = 2c² + 2c Impossible 2a² n'est pas un carré. 4a² + 4b² + 4a + 4b = 4c² + 4c Dans ce cas, 4a² est bien le carré de 2a, mais on ajoute 4a et non 2a. Pas possible non plus. Etc. Tableau Plage: les valeurs de a, b et c sont inférieures ou égale à ce nombre. Quantité: nombres de triplets complémentés en plus dans cette plage. Dans la plage de 10 à 20, il y a 6 triplets complémentés en plus soit 10 pour a, b et c jusqu'à 20.

À noter (avec a, b et c jusqu'à 1000)

6 est le plus petit nombre au départ de deux TC: 6² + 9² + 6 + 9 = 11² + 11 = 132 6² + 20² + 6 + 20 = 21² + 21 = 462 9 est le plus petit nombre au départ de trois TC: 9² + 13² + 9 + 13 = 16² + 16 = 272 9² + 21² + 9 + 2 1 = 23² + 23 = 552 9² + 44² + 9 + 44 = 45² + 45	462 est le plus petit nombre deux fois TC 6² + 20² + 6 + 20 = 21² + 21 = 462 12² + 17² + 12 + 17 14² + 18² + 14 + 18 552 est le plus petit nombre trois fois TC, puis 812, 1332 et 1722
Triplets complémentés avec a = b (2, 2), (14, 14)	Triplets complémentés avec b = a + 1 (5, 6), (34, 35)

Autres triplets complémentés
a^3 + b^3 + a + b = c^3 + c a(a² + 1) + b(b² + 1) = c(c² + 1)	Aucun jusqu'à 1000
a^3 + b^3 + a² + b² = c^3 + c² a²(a + 1) + b²(b + 1) = c²(c + 1)	Aucun jusqu'à 1000
a^3 + b^3 + a² + a + b² + b = c^3 + c² + c a(a² + a + 1) + b(b² + b + 1) = c(c² + c + 1)	Aucun jusqu'à 1000

Quadruplets complémentés
Définition Triplets de la forme: a² + b² + c² + a + b + c = d² + d En factorisant: a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = d(d+1) Exemple Le plus petit (trivial): 1² + 1² + 1² + 1 + 1 + 1 = 2² + 2 Le plus petit (non trivial) 1² + 2² + 3² + 1 + 2 + 3 = 4² + 4 = 20 1x2 + 2x3 + 3x4 = 4x5 Propriétés Ils sont très nombreux et sans doute en nombre infini. Pour a, b, c, d jusqu'à 1000, ils sont: 1 408. Le dernier calculé étant: 54, 56, 59, 98, 9 702. La somme la plus grande: 2, 41, 91, 100, 10 100

Merci à Jean-Paul Blanc pour l'idée de cette page

Voir	Théorème de Pythagore – Débutant Années Pythagore Calcul du facteur de Lorenz Décade de Pythagore Nombres premiers de Pythagore Pythagore - Biographie Somme de carrés
Aussi	Addition - Glossaire Décade de Pythagore Équations diophantiennes – Liste Nombre = sommes de puissances Partitions Programmation de recherche des triplets Pythagore - Biographie Quadruplets diophantiens Somme de carrés Triangle
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