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Édition du: 18/02/2022

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Démonstrations algébriques du

Théorème de Pythagore

 

Avec l'outil vectoriel et la notion de produit scalaire, la démonstration du théorème de Pythagore est immédiate et, en prime, sa généralisation à un triangle quelconque (loi des cosinus).

Autres démonstrations avec la trigonométrie, les exponentielles, la différentiation.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Distance

>>> Démonstration avec les vecteurs (1)

>>> Démonstration avec les vecteurs (2 et 3)

>>> Démonstration avec trigonométrie

>>> Démonstration avec exponentielles

>>> Démonstration avec dérivées

>>> Démonstration par les matrices

>>> English corner

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore

 

 

Distance

haut

 

Distance entre deux points

 

Le théorème de Pythagore conduit au calcul d'une distance en géométrie plane. En ce sens, il établit une connexion entre la géométrie et l'algèbre.

 

Application numérique

     c² = (6 – 2)² + (4 – 1)²
      = 4² + 3² = 25
      = 5²

 

 

 

Démonstration avec les vecteurs (1)

haut

 

Somme des vecteurs

Le carré:

 

 

 

 

Produit scalaire

Le produit scalaire des deux vecteurs a et b orthogonaux (angle droit) est nul:

 

En prenant les normes (longueurs) de ces vecteurs:

En prenant a, b et c comme des longueurs, on simplifie l'écriture:

c² = a² + b²

 

D'une manière générale

Évaluons l'égalité des deux derniers membres.

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est égal au carré de sa norme. En développant le produit:

 

C'est la loi des cosinus (Al Kashi).

Le signe moins intervient lorsqu'on prend a et b

avec la même origine.

Pour deux vecteurs orthogonaux, le cosinus est nul et, on retrouve effectivement le théorème de Pythagore.

 

 

Historique

Démonstration telle qu'elle est décrite dans le livre d'Elisha Scott Loomis, page 246 – 1940.

Elle fait remonter cette démonstration à A.S. Hardy dans son livre de 1881 à propos des quaternions (cet Hardy n'est pas celui ami de Ramanujan, G.H Hardy).

 

Notez la complexité des notations pour nous aujourd'hui ! Mais, déjà une démonstration expéditive.

 

 

Anglais: Dot product, scalar product or inner product (Euclidean geometry)

Voir Triangle rectangle dans le demi-cercle avec les vecteurs

 

 

Démonstration avec les vecteurs (2 et 3)

haut

 

Démo 2

On duplique le triangle rectangle sur son côté BC.

 

Vecteurs c et d

Somme des carrés:


En prenant les normes de ces vecteurs et avec c = d en termes de longueur:

 

En notation classique des longueurs: c² = a²+ b²

 

 

Démo 3

On duplique le triangle rectangle sur son côté BA.

 

Vecteurs c et d

 

La suite est identique à la démo 2.

 

Historique: ces deux solutions sont de James Calderhead (1899).

 

 

 

Pythagore par Pythagore ? Référence circulaire ?

 

Référence circulaire implicite

Certains doutent de la validité des démonstrations vectorielles du théorème de Pythagore, invoquant une référence circulaire: utilisation implicite du théorème pour le démontrer.  Il existe de nombreux débats à ce sujet.

Le principal argument avancé est que: la norme d'un vecteur (sa longueur) est calculée avec le  théorème de Pythagore.

Il s'agit d'un faux débat. En algèbre linéaire, on définit le produit scalaire totalement indépendamment du théorème de Pythagore comme le montre la démonstration avec le produit scalaire.

 

Pour les démonstrations présentées ci-dessus:

Une des démonstrations vectorielles utilise le produit scalaire défini avec le cosinus de l'angle entre vecteurs (définition géométrique). Le cosinus est le rapport entre deux longueurs, donc sans rapport avec le théorème de Pythagore même si la scène de calcul est un triangle rectangle. Lorsque ce cosinus vaut 0, les vecteurs (si non nuls) sont orthogonaux, et réciproquement. Ce résultat est légitime pour poursuivre la démonstration classique du théorème de Pythagore.

Une autre possibilité consiste à invoquer la loi des cosinus (Al Kashi). Démontrée sans le théorème de Pythagore, elle offre justement ce théorème en cas particulier. Alors pourquoi s'embarrasser à faire ce détour par le produit scalaire et invoquer ce théorème ? Pour compter une démonstration de plus ? Ceci-dit, même avec ce détour bien inutile, la démonstration vectorielle via Al Kashi est valide sans avoir eu besoin du théorème de Pythagore.

Outre ceci, il existe plusieurs méthodes vectorielles avec montages géométriques qui s'affranchissent totalement du cosinus de l'angle. Cependant ces démonstrations font usage de la norme des vecteurs. Elle peut être calculée avec le théorème de Pythagore, mais aussi géométriquement en prenant le carré du vecteur (sa quadrance), sachant qu'alors le cosinus vaut 1.

 

Bilan

Il existe des démonstrations vectorielles du théorème de Pythagore, dont certaines datent du XVIIe siècle, et qui ne sont pas circulaires.  Si certaines prêtent à discussion, celle avec définition du produit scalaire est à l'abri de toute critique.

  

 

 

 

Démonstration avec trigonométrie

haut

 

Méthode 1 avec expression des cosinus des angles

b² = cy   & a² = cx

a² + b² = cx + cy = c (x + y) = c²

 

Voir Relations dans le triangle rectangle

 

 

Méthode 2

Formule de la soustraction des angles

 

Avec B = A

 

 

 

Méthode 3

Calcul de la somme des carrés en intercalant (i² = – 1)

Avec la formule d'Euler

 

 

 

 

Démonstration avec exponentielles

haut

 

Expression exponentielle des sinus et cosinus

 

 

Les carrés

 

Leur somme

 

Avec le rayon c

 

Voir Formule de Moivre

 

 

Démonstration par les dérivées

haut

 

On calcule la dérivée de

 

La dérivée est nulle, la fonction est une constante.

Pour connaitre sa valeur prenons A = 0

 

 

Démonstration par les matrices

haut

 

Le théorème de Pythagore  avec les matrices et leur déterminant.

Or ces deux matrices sont équivalentes à une rotation près de 90°.

 

 

 

 

Généralisation matricielle

Avec A une matrice n x k

 

 

 

 

Voir Cas du tétraèdre (trois dimensions)

 Diverses généralisations du théorème

 

 

Le carré du contenu du parallélépipède défini par A est égal à la somme des carrés des projections orthogonales des parallélépipèdes dans les hyperplans à k dimensions.

 

Suite The full Pythagorean Theorem – Charles Frohman

 

 

 

English corner

haut

 

The Pythagorean Theorem for Inner Product Spaces

 

Let V be an inner product space.
If
 are orthogonal to each other then:

 

 

 

Proof

Since u is orthogonal to v, we have that:

Thus:

Thus our proof is complete

 

Source Mathonline

 

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*      Vecteurs

Sites

*      Thales's Theorem: A Vector-Based Proof –Wolfram MathWorld – Animation

*      Dot products, Pythagoras' theorem, and generalizations – Wild Linear Algebra A – NJ Wildberger – Vidéo

*      Generalized Pythagoras through Vectors

*      Prove sin²θ+cos²θ=1 – Mathematics

 

Voir liste des liens

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/Algebriq.htm