Édition du: 18/02/2022 |
INDEX |
Théorème de Pythagore |
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Démonstrations avec le produit
scalaire Théorème de Pythagore Les démonstrations vectorielles du théorème
de Pythagore sont souvent accusées de références circulaires: utilisation
implicite du théorème de Pythagore pour se démontrer lui-même. Pas toujours
inéluctable si ces cas sont traités avec
attention ! En l'occurrence, la méthode présentée ici ne se prête à aucune
discussion. Il s'agit d'une construction purement algébrique partant de la
définition du produit
scalaire et de l'orthogonalité. Certains mathématiciens affirment même que cette démonstration est la
meilleure, la plus élégante et finalement pas si compliquée. Elle démontre la puissance de l'algèbre
linéaire. |
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Sommaire de cette page >>>
Définition du produit scalaire >>>
Propriétés du produit scalaire >>>
Orthogonalité >>>
Théorème de Pythagore |
Débutants Glossaire |
Voir Types de démonstrations
du théorème de Pythagore
On suppose aucune connaissance et aucune référence à la géométrie
euclidienne. Définition du produit scalaire de deux vecteurs Il s'agit d'associer un nombre à deux vecteurs. Notation: un point-milieu entre les deux vecteurs ou
parenthèses spéciales. |
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Quadrance Sorte de
carré. |
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Bilinéarité Le produit scalaire de trois vecteurs est "distributif". |
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Démonstration Soit trois vecteurs. Démonstration de la première égalité, les autres se démontrent sur le
même principe. |
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Symétrie "Commutativité". |
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Démonstration En algèbre classique les produits sont commutatifs. |
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Définition Deux vecteurs sont dits orthogonaux si => Aucune allusion à une disposition géométrique. |
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Théorème Pour tous vecteurs v1 et v2 : |
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Relation entre les trois vecteurs Addition classique des vecteurs. Quelle est la valeur de l'angle entre les deux vecteurs verts ? |
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Implication |
Cette relation prise comme hypothèse est explicitée puis calculée pour
arriver à la conclusion qu'elle implique que les vecteurs sont orthogonaux. |
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Démonstration Expression explicitée puis application de la bilinéarité.
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Suppression des éléments communs puis application de la symétrie. Division par 2, et Conclusion suite à notre définition de l'orthogonalité. |
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Voir Cette démonstration est exposée dans les deux références citées
Retour |
Théorème de Pythagore –
Approche |
Suite |
Théorème de Pythagore
– Dissections |
Voir |
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Dot products, Pythagoras' theorem, and generalizations
| Wild Linear Algebra A | NJ Wildberger – Copier
ceci dans un moteur de recherche –
Vidéo en anglais (très compréhensible) explicitant la démonstration présentée
ci-dessus Inner
product spaces – Σ Mathematics – Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele,
& Anne Schilling – 2021 |
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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/ProdScal.htm |