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Édition du: 18/02/2022

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Démonstrations avec le produit scalaire

Théorème de Pythagore

 

Les démonstrations vectorielles du théorème de Pythagore sont souvent accusées de références circulaires: utilisation implicite du théorème de Pythagore pour se démontrer lui-même. Pas toujours inéluctable si ces cas sont traités avec attention !

En l'occurrence, la méthode présentée ici ne se prête à aucune discussion. Il s'agit d'une construction purement algébrique partant de la définition du produit scalaire et de l'orthogonalité.

Certains mathématiciens affirment même que cette démonstration est la meilleure, la plus élégante et finalement pas si compliquée.  Elle démontre la puissance de l'algèbre linéaire.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Définition du produit scalaire

>>> Propriétés du produit scalaire

>>> Orthogonalité

>>> Théorème de Pythagore

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore

 

 

 

Définition du produit scalaire

haut

 

On suppose aucune connaissance et aucune référence à la géométrie euclidienne.

 

Définition du produit scalaire de deux vecteurs

Il s'agit d'associer un nombre à deux vecteurs.

Notation: un point-milieu entre les deux vecteurs ou parenthèses spéciales.

 

 

 

 

 

Quadrance

Sorte de carré.

 



Propriétés du produit scalaire

haut

 

Bilinéarité

Le produit scalaire de trois vecteurs est "distributif".
et pour tout lambda rationnel.

 

 



 

Démonstration

Soit trois vecteurs.

 

Démonstration de la première égalité, les autres se démontrent sur le même principe.

 


 

Symétrie

"Commutativité".

 

 

Démonstration

En algèbre classique les produits sont commutatifs.

 

 

 

Orthogonalité

haut

 

Définition

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si =>
On note bien qu'il s'agit d'une définition et, qu'elle est algébrique.

Aucune allusion à une disposition géométrique.

 

 

 

Théorème de Pythagore

haut

 

Théorème

Pour tous vecteurs v1 et v2 :

 

 

Relation entre les trois vecteurs

Addition classique des vecteurs.

Quelle est la valeur de l'angle entre les deux vecteurs verts ?

 

Implication

 

 

Cette relation prise comme hypothèse est explicitée puis calculée pour arriver à la conclusion qu'elle implique que les vecteurs sont orthogonaux.

    

 

Démonstration

Expression explicitée puis application de la bilinéarité.

 



 

Suppression des éléments communs puis application de la symétrie.

Division par 2, et

Conclusion suite à notre définition de l'orthogonalité.


Voir Cette démonstration exposée dans les deux références citées

 

 

 

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*      Autres démonstrations algébriques

Suite

*      Théorème de Pythagore – Dissections

Voir

*      Vecteurs et produit scalaire

Sites

Voir liste des liens

 

*      Dot products, Pythagoras' theorem, and generalizations | Wild Linear Algebra A | NJ Wildberger Copier ceci dans un moteur de recherche  – Vidéo en anglais (très compréhensible) explicitant la démonstration présentée ci-dessus

*      Inner product spaces – Σ Mathematics – Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, & Anne Schilling – 2021

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/ProdScal.htm