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Édition du: 25/01/2021 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Triangles Constructions Géométrie	CONSTRUCTION – TRIANGLE
	Types de triangles	Constructions élémentaires des triangles			Quadrature
	Constructions	Orientation	LLL	AAA	LAL …
		Général	hhh	bbb	Centres
	Résol. des triangles	Quelconque	mmm	MMM	Milieu

L: côté; A: Angle; h: hauteur; m: médiane; M: médiatrice; b: bissectrice

Construction des triangles Considérations générales Construire un triangle parait anodin lorsqu'on connait les côté et les angles. La construction à partir de la connaissance des céviennes comme les médianes ou les bissectrices est une autre histoire. Revue de détail.
	Sommaire de cette page >>> Le problème de la construction des triangles >>> Construction à partir d'un triplet de points >>> Cas RC-constructibles >>> Cas RC-Non-constructibles	Débutants Triangle Glossaire Triangle

Anglais: Triangle (location) construction problems

Le problème de la construction des triangles

haut

D'un côté la construction classique d'un triangle à partir de la connaissance:

de sa nature,

de ses côtés ou

de ses angles.

De l'autre côté, la construction à partir de la connaissance de céviennes:

leurs longueurs, ou

leurs directions, ou

leurs pieds.

Les céviennes (segments de droite partant d'un sommet et joignant son côté opposé) peuvent être quelconques, ou plus généralement particulières, comme: hauteur, médianes, ou bissectrices. On traitera aussi les médiatrices.

Résumé sur les céviennes et médiatrices sur ce site

	Hauteurs	Médianes	Bissectrices	Médiatrices	Autres	Quelconque
Longueurs	>>>	>>>
Directions		>>>	>>>
Mixte			>>>			>>>
Pieds / Centres		>>>			>>>
Points	Problèmes de Wernick (triplets de points)

Construction à partir d'un triplet de points

haut

Liste des cas par Wernick

Il s'agit de construire un triangle, si possible avec la règle et le compas, à partir de la connaissance de trois éléments du triangle.

Si le problème a passionné les mathématiciens durant des siècles, c'est William Wernick qui, en 1982, a établi une liste de ces problèmes sur la base de trois de 16 points.

A, B et C	Sommets
O	Centre du cercle circonscrit
Ma, Mb, Mc	Milieu des côtés
G	Centre de gravité
Ha, Hb, Hc	Pieds des hauteurs
H	Orthocentre
Ba, Bb, Bc	Pied des bissectrices internes
I	Centre du cercle inscrit

Les catégories de problèmes

Il existe 560 combinaisons de trois points parmi ces seize ((16x15x14) / (3x2x1) = 560).

Certaines ne sont pas recevables. Par exemple: la connaissance de deux sommets et du point milieu.

Certaines combinaisons sont similaires. Par exemple: deux sommets et le pied de la bissectrice

Le problème LLL (connaissance de la longueur des trois côtés) est considéré comme banal.

Wernick a recensé 139 de ces combinaisons; celles présentant des défis originaux.

Classement en quatre catégories:

Redondant: le 3^e point est fixé par les deux premiers. Pas de solutions. 3 cas.

Contraint: le 3^e point dépend des deux autres. La solution exige que la contrainte soit respectée. 23 cas.

Constructible: les trois suffisent à déterminer le triangle ABC. 74 cas.

Non-constructible: aucune construction connue. Exemple avec les trois pieds des bissectrices. 39 cas.

En 2016, une équipe de quatre mathématiciens français et serbes (Pascal Schreck, Pascal Mathis, Vesna Marinkovic, and Predrag Janicic) publie la liste finale des 139 cas et de leur état.

Résultat obtenus par ordinateur.

Méthode basée sur la vérification de la constructibilité.

Développement d'un système pour trouver des constructions les plus élégantes possibles et vérifier leur justesse.

Extension par Harold Connelly

On peut toujours étendre les 16 points de base avec d'autres points caractéristiques du triangle.

Avec les quatre points proposés par Connelly, il y a 140 cas originaux supplémentaires.

Connelly propose:

Ea, EE, Ec	Points d'Euler
N	Centre du cercle des 9 points

73 sont constructibles et 11 ne le sont pas.

19 cas sous contrainte

32 cas dont on se sait pas s'ils sont faisables.

Cas RC-constructibles (74)	haut
Les cas constructibles à la règle et au compas (RC)

Cas RC-NON-constructibles (39)	haut
Les cas NON-constructibles à la règle et au compas, mais avec solution dans le plan Euclidien Les autres cas sont contraints sans solutions ou avec une infinité de solutions.

Tableau original de Wernick

Voir les Références pour d'autres tableaux et état des démonstrations

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Voir	Constructions – Index Triangles – Index
Sites	On-line compendium of triangle construction problems with automatically generated solutions – Vesna Marinkovic Wernick's List: A Final Update – Pascal Schreck, Pascal Mathis, Vesna Marinkovic, and Predrag Janicic Using jointly geometry and algebra to determine RC-constructibility – Pascal Schreck, Pascal Mathis
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Construc/Construc.htm