NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Fourmi sur un cylindre

>>> Trajet amélioré

>>> Cas particuliers

>>> Deux cas extrêmes: solutions?

>>> Explication avec la géométrie

>>> Solution analytique

>>> Bilan

 

 

 

 

CYLINDRE PLEIN – Trajet de la Fourmi

 

Comment déterminer les distances sur un cylindre?

Quelle est la longueur la plus courte d'un point à un autre?

Énigme de la fourmi qui se dirige au plus vite vers une goutte d'eau en circulant sur un récipient plein (avec couvercles).

 

Devinette

1.    Une mouche est sur le bord supérieur d'un cylindre creux de 5 cm de rayon et 10 cm de hauteur. Elle avise une perle de confiture sur le bord inférieur à l'opposé. Quelle est la distance minimale qu'elle devra faire pour pomper la confiture ?

2.   Si une fourmi était à sa place que ferait-elle pour minimiser son trajet?

3.   Si le cylindre est fermé à ses extrémités (couvercles), que ferait la fourmi?

Solution

 

 

 

FOURMI sur un CYLINDRE

 

Énigme

Une fourmi se trouve sur l'extérieur d'un cylindre plein (comme une boite de conserve fermée).

Elle est en haut au point F et veut se rendre au point G en bas, mais diamétralement opposé

 

Approche

Une première observation montre que parmi les trajets possibles, la fourmi a intérêt à prendre le chemin rouge pour minimiser le trajet.

*    Un trajet en ligne droite AF sur le couvercle en haut;

*    Un trajet courbe AB pour descendre le long du flanc du cylindre; et

*    Un trajet en ligne droite BG sur le bas du couvercle

 Plusieurs questions se posent:

*    Positionnement des points A et B; et

*    Nature de la courbe AB.

 

 

Illustration

Voir tout de suite la Solution

 

 

 

Trajet amélioré

 

Plutôt que de faire le trajet sur le bas du cylindre BG), la fourmi peut faire l'équivalent sur le haut (AD), sans changer la longueur parcourue.

Il devient évident, qu'alors, il est possible d'optimiser le trajet FAD en prenant la ligne droite FD.

 

Le trajet à considérer est donc FDG

*    une ligne droite FD, puis

*    une ligne courbe DG.

En développant le cylindre, le trajet courbe DG est minimum si c'est une ligne droite une fois le cylindre développé (un morceau de spire d'une hélice circulaire).

 

 

 

Cas particuliers

 

Si la hauteur du cylindre est petite devant le rayon (figure de gauche), le trajet est tout simplement un diamètre, suivi d'une descente verticale.

L = 2R + h

 

Mais dans quelles conditions pour h/R ? La réponse n'est pas simple.

 

Si la hauteur du cylindre est très grande devant le rayon (figure de droite), le trajet tend vers la descente sur une spire.

 

 

 

 

Deux cas extrêmes

 

Prolongeons notre raisonnement avec le développement du cylindre.

 

Si la hauteur est très petite (rectangle en haut), la fourmi à plus vite fait de parcourir le diamètre du couvercle et descendre tout droit vers son but: FODG'. Son trajet mesure:

L1 = 2R + h

 

Si la hauteur est très grande (rectangle en bas), la fourmi a intérêt à descendre tout de suite sur une spire, en fait une droite sur le développement: FG. Son trajet mesure:

 

 

La question: quand la fourmi doit-elle opter pour l'un ou l'autre des trajets?

 

Dans la mesure où il s'agit de longueur (valeurs positives), nous pouvons comparer les carrés.

 

L1²

L2²

Prenons    L1>L2 

 

Solution

 

Trajet en latéral (h > 1,467 R)

Dès que la hauteur du cylindre dépasse environ 1,5 le rayon, la fourmi a intérêt à prendre le chemin oblique le long du flanc du cylindre.

 

 

 

Trajet en horizontal et vertical  (h < 1,467 R)

Sinon, pour les petites hauteurs, elle prend un chemin direct qui traverse un diamètre et descend tout droit.

 

 

 

 

Explication avec la géométrie!

Comment confirmer que les deux cas exprimés ci-dessus sont en fait la solution de ce problème?

 

Trajet en latéral

 

Faisons tourner un peu le cercle. Au  lieu du trajet direct F0G, la fourmi part de F1 arrive au bord en D et repart en oblique vers G.

Le point F1 est développé au point F0. Autrement-dit: DF0 = arc DF1.

Le point E est tel que DE = corde DF1.

La longueur de la corde est inférieure à celle de l'arc; le point E est situé entre D et F0.

Le nouveau trajet de la fourmi (GDF1) est de même longueur que le trajet à GDE. Il est plus long que l'oblique GE.

Mais GE est plus long que GF0.

 

Conclusion

Pas possible de conclure!

Il est nécessaire de passer à une solution analytique. Calcul de minimum d'une fonction en passant par la dérivée.

Zoom

 

 

Solution analytique et expérimentale

 

Remarquez que l'angle DOC (alpha) est le double de l'angle pris par la fourmi (DFC).

L'angle alpha permet d'apprécier la longueur de l'arc CD = R avec alpha en radians.

Et, la longueur de la spire est égale à

 

 

Dans le triangle rectangle FCD

 

 

Longueur du trajet complet

avec h = k R

Vérification pour alpha = 0

 

Allure de cette fonction

avec R = 1 et k = 3 (h = 3).

Comparaison à L0.

 

L est en rouge. Départ en 5 et arrivée en

 

 

 

Pour alpha (angle au centre) de 0 à Pi, la valeur de la distance L (rouge) est inférieure à la longueur du trajet (jaune). Elle est minimale pour alpha = Pi. La fourmi a intérêt à prendre directement le chemin oblique

 

En bleu, contribution du terme en racine;

En bleu, contribution du terme en cosinus.

 

Allure de la fonction

pour R = 1 et k = 1 (h =1).

 

Nous avons que k = 1,467… est une valeur critique.

Effectivement, en passant de k = 3 à k = 1, la courbe rouge est désormais en haut de la droite jaune.

Quelle que soit la valeur de l'angle alpha de 0 à Pi, la distance en rouge est plus grande que la distance en jaune. La fourmi a intérêt à prendre le chemin direct.

 

Nous confirmons avec ces deux exemples qu'il existe bien deux situations possibles.

 

Étude de la zone de transition

Valeur de k:

k = 2            rouge

k = 1,49       verte

k = 1,467… non représentée

k = 1,45        bleue

k = 2             jaune

 

La courbe représente la longueur du  trajet en oblique selon l'angle alpha, alors que la droite représente la longueur du trajet direct.

Observez que la courbe bleue ne coupe pas la droite bleue, alors que la courbe verte coupe la droite verte. Or, pour ces deux courbes k et de part et d'autre de la valeur de transition.

 

Nous confirmons la valeur de transition calculée à 1, 467 …

 

La démonstration formelle passe par l'analyse des dérivées première est seconde.

Recherche de maximums locaux qui montrent que les valeurs minimums de distance sont atteintes pour les deux valeurs extrêmes de l'angle alpha.

Solution complète dans le livre

indiqué en référence

 

 

Fourmi sur cylindre

Avec un cylindre creux la solution géométrique comme la solution analytique (plus compliquée) donnent la solution.

Pour le cylindre plein, le problème est de difficulté supérieure. Seule la solution analytique (à ma connaissance) donne la solution. Une approche géométrique suivie d'une analyse expérimentale permet néanmoins d'atteindre la solution.

 

 

 

Devinette – Solution

1) Une mouche est sur le bord supérieur d'un cylindre creux de 5 cm de rayon et 10 cm de hauteur. Elle avise une perle de confiture sur le bord inférieur à l'opposé. Quelle est la distance minimale qu'elle devra faire pour pomper la confiture ?

Réponse:

La mouche vole en ligne droite du point M au point C.

MC² = 10² + 10² = 200

MC = 14,14… cm

2) S'il s'agit d'une fourmi avec le cylindre creux, elle suivra une trajectoire oblique à l'intérieur du cylindre le long d'une spire d'hélice dont la longueur est:

arcMC² = 10² + ( = 346,74… et arcMC = 18,62…cm >>>

3) Avec un cylindre fermé, la fourmi, dans ce cas particulier, la fourmi suivra également la spire comme en 2). Mais il existe des cas où elle aurait plutôt intérêt à filer le long d'un diamètre et descendre tout schuss. >>>

Retour / Cas du trajet sur une boite parallélépipédique

 

 

 

 

Retour

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Livre

*    A Mathematical Orchard: Problems and Solutions (e-book) – Mark I. Krusemeyer, George T. Gilbert et Loren C. Larson – MAA – 2012 – Le problème 150 est celui de la fourmi; la solution analytique y est décrite.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/CylFourP.htm