NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Théorème de Descartes

 

 

 

   

Théorème de Descartes (1643

 

Théorème relatif à la courbure de cercles tangents.

Anglais: Descartes'  theorem

 

 

Cercles tangents: théorème de Descartes

 

Théorème

Soit quatre cercles tangents entre eux. Si k désigne la (inverse du rayon), alors:

(k1 + k2 + k3+ k4)² = 2(k1² + k2² + k3² + k4²)

 

 

 

Application: courbure du quatrième cercle

Avec C = 1/R, C = 1/R' et C" = 1/ R" = courbures des cercles initiaux

Et c = 1/r, la courbure des cercles ajoutés:

 

 

La courbure est positive pour ce qui a trait à l'extérieur du cercle et négative pour l'intérieur.

 

Avec les rayons la formule devient:

 

 

Exemple avec R = - 1  et R' = R" = 1/2.

 

 

Sur cette figure

si R  = 1 alors r  = 1/3.

Voir Construction de 1/3

 

 

 

Soddy

Les deux cercles sont les cercles de Soddy et leur centre les points de Soddy.

Frederick Soddy (1877-1956)

 

 

Epstein

Les droites passant par deux points de tangences se coupent en un point unique, le point d'Epstein.

En fait deux point avec le cercle interne et le cercle externe.

Valable aussi dans le cas de sphères.

 

 

Avec une droite

Si un des cercles est une droite, sa courbure est nulle.

 

Exemple (Figure)

 

Voir Construction des deux cercles tangents à trois cercles tangents

 

 Anglais

In geometry, Descartes' theorem states that for every four kissing, or mutually tangent, circles, the radii of the circles satisfy a certain quadratic equation.

By solving this equation, one can construct a fourth circle tangent to three given, mutually tangent circles.

The theorem is named after René Descartes, who stated it in 1643.

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

 

 

 

Suite

*  Apollonius CCC (trois cercles)

*  Baderne d'Apollonius

*  Cercles de Ford

*  Cercles tangents

*  Croissant avec trois cercles

*  Point d'Apollonius

*  Puissance d'un point

*  Trois cercles de Monge

Voir

*   CercleIndex

*   GéométrieIndex

*   Les trois cercles et le théorème de Miquel

*   Résolution du triangle

Sites

*   Théorème de Descartes – Wikipédia

*    Le théorème de Descartes  sur quatre cercles tangents – Jean Fresnel

*   Soddy Circles and David Eppstein's Centers – Cut-The-Knot – Alexander Bogomolny

*   Soddy's hexlet – Wikipedia – Animation

*   Soddy's Formula – Wayback Machine – Y compris le poème: The Kiss Precise

*   Beyond the Descartes Circle Theorem - Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks – pdf 25 pages, niveau avancé

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Descart.htm