Problème d'Apollonius, un point et deux droites

Édition du: 30/06/2021

Construction d'Apollonius

Un point et deux droites (PLL)

Comment construire un cercle tangent à deux droites et passant par un point ?

Cette page propose une approche générale. On ne traite pas des cas particuliers conduisant à des d'impossibilités.

Sommaire de cette page

>>> Cas de deux droites (LL)

>>> Cas de deux droites et un point

>>> Construction de Viète

Débutants

Triangle

Glossaire

Triangle

Cas de deux droites (DD ou LL)

haut

But

Construire un cercle tangent aux deux droite D et D'.

Construction

Intersection P de D et D'.

Bissectrice de l'angle (rose).

Point quelconque M sur la bissectrice.

Perpendiculaires aux côtés à partir de M.

Cercle de centre M et passant par le pied des perpendiculaires.

Propriété

La bissectrice est le lieu du centre des cercles tangents aux deux droites.

Cas de deux droites et un point		haut
But Construire le cercle tangent aux droites D et D' passant par le point A.
Construction *Un cercle tangent aux deux droites passant par le point M quelconque situé sur la bissectrice (cf. ci-dessus).* Intersections B et C avec la droite AP. Il s'agit de construire un cercle homothétique (semblable) qui passe par A.
Parallèle en A à MC (rose). Intersection en O avec la bissectrice PM. C'est le centre d'un des deux cercles cherché. Construction classique avec les perpendiculaires aux côté à partir de O. Le second cercle se construit de la même façon avec la parallèle en A à MB.

Construction de Viète

haut

But

Construire le cercle tangent aux droites D et D' (bleues), passant par le point A.

Construction

Construire la droite DF qui coupe les droites initiales à angles égaux (bissectrice puis perpendiculaire).

Point B symétrique de A par rapport à E, milieu de DF.

On est ramené à un problème connu: construction PPL avec les points A et B et tangent avec l'une des droites.

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Sites	Construction d'un cercle passant par un point et tangent à deux droites – Serge Mehl PLL: Apollonius' Problem with Two Lines and a Point – Cut-The-Knot
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/ApolPLL.htm