NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Carré inscrit dans un quadrilatère

>>> Aire des carrés

>>> Carré inscrit dans le carré – Taille minimale

>>> Exercice avec un carré inscrit dans un carré

>>> Dimension du carré inscrit

>>> Carré inscrit – Valeurs de x et y

>>> Énigme de l'échelle contre un mur

>>> Bilan

 

 

 

 

Carré inscrit dans le carré

Calcul de dimensions

 

 

Quelle est la longueur du côté d'un carré inscrit dans un carré ? Ou celle du carré origine, connaissant le côté du carré inscrit.

Résolution de l'énigme du mur, de l'échelle et du cube.

Aussi, un petit défi de géométrie pour commencer cette page.

 

 

Carré inscrit dans un quadrilatère: sa nature ?

 

Problème

Carré ABCD (bleu), et EFGH (rouge) un quadrilatère circonscrit tel que: AE = BF = CG = DH.

Montrer que le quadrilatère EFGH (rouge) est aussi un carré.

 

Propriété utile (lemme)

Un quadrilatère ABCD tel que l'angle en  A est un angle droit et AB = DC, alors l'angle alpha est:

*      droit (cas C bleu, et le quadrilatère est un rectangle: AB  = DC), ou

*      aigu (cas E, rose ; ou encore F, vert).

 

Solution

L'astuce consiste à reporter le triangle AHD en ABM. C'est une rotation autour de A; D passe en B et H en M. Conséquence: AE = HD  = BM.

Angles: DAB = 90° = DAM + MAB

                                    = DAM + HAD = HAM = 90°

Dans le quadrilatère AEBM,  angle droit en A et AE = BM. On applique le lemme: 

Idem pour les trois autres angles.

Or la somme des angles du quadrilatère doit atteindre 2 . Seule possibilité: chacun des quatre angles vaut .

Chacun des quadrilatères comme AEBM est un rectangle et EB = AM = AH. En ajoutant BF et AE, on a: EF = FG = GH = HE.

Avec quatre angles droits et des côtés égaux, le quadrilatère EFGH est un carré.■

 

Figure initiale

Carré bleu inscrit dans un quadrilatère rouge inconnu. AE = BF = CG = DH.

 

Figure avec triangle vert

 

Le quadrilatère rouge est aussi un carré.

 

 

 

Aire des carrés

 

Problème

Quelle est l'aire du carré rouge ?
Celle de chaque triangle rectangle ?

 

Solution

La découpe présentée à droite donne la solution.
Aire du carré vert: 10 x 10 = 100 cm².
Aire du carré rouge: 2 x 100 = 200 cm².
Aire du triangle rectangle: 200 / 8 = 25 cm².

 

    

 

 

Carré inscrit dans le carré – Taille minimale

 

Problème

Quelle est la taille du carré inscrit d'aire minimale ?

 

Solution

Pour minimiser l'aire du carré inscrit, il faut maximiser l'aire des quatre triangles.

Aire d'un des triangles rectangles:
T = 1/2 ab = 1/2 a (L – a) = 1/2 (aL – a²)

L'aire en fonction de a est une fonction parabolique qui prend les valeurs extrêmes 0 et L. Son minimum est atteint au milieu: a = (0 + L) / 2 =  1/2 L.
(ou via la dérivée, 1/2L – a, nulle pour a = 1/2L).

 

L'aire du carré inscrit (vert)

est minimale pour a  = L/2

 

 

Exercice avec un carré inscrit dans un carré

 

Problème

Trouver toutes les valeurs entières pour lesquelles le carré bleu est inscrit dans le carré rose.

Écrire le programme et confirmer la position pour un carré bleu d'aire minimale.

 

Solution

Le point A navigue sur l'axe en abscisses et le point B en ordonnées.   yA et xB valent 0.

Inutile de faire intervenir les équations des droites et leurs intersections dans le cas présent.

 

Le point C se déduit par la relation:
xC = yB  et yC = xA + yB

Le point D par:
xD = xA + yB  et yD = xA

En faisant varier xA et yB, il s'agit de vérifier si yC = 10 et si xD = 10.

 

 

Programme Maple

Commentaires

Initialisation.

Boucle de balayage pour xA et yB.

Calcul du côté d du carré.

Calcul des coordonnées de points C et D

Comparaison à 10 et impression des huit coordonnées suivi de la distance.

 

 

Résultats

En bleu, chaque ligne est un cas où le carré bleu est inscrit dans le carré rose.

En fait, c'est le cas pour chacune des valeurs entières de xA de 1 à 9 (pour 10, on retrouve le carré initial).

 

Mieux, il existe une infinité de tels carrés bleus.

 

Le plus petit (jaune) est obtenu pour A au milieu du côté du carré rose (xA = 5) et le côté vaut:

 

 

Dimension du carré inscrit

 

Problème

Un carré rouge (côté L) dans lequel est inscrit un carré vert (côté b) tel que celui-ci s'appuie sur un petit carré en coin (côté d).

Connaissant le point d'appui (d), trouver la relation entre les côtés des carrés (L et b).

 

Solution pour b = f(L)

 

Solution pour L = f(b)

 

 

Applications numériques

 

 

 

Carré inscrit – Valeurs de x et y

 

Problème

Un carré rouge (côté a) dans lequel est inscrit un carré vert (côté b) tel que celui-ci s'appuie sur un petit carré en coin (côté d).

Connaissant b et d, trouver les longueurs x et y.

 

Solution (voir figures du milieu)

 

Figure et notations (T est une aire)

 

Grand latéral et triangle semblables

 

 

Application numérique

(proportions rspectées)

 

 

Énigme de l'échelle

 

Énigme

Une échelle de 4 m est appliquée à un mur. Elle s'appuie sur un cube de 1m de côté.

Quelles sont les longueurs x et y ?

 

Solution

Nous sommes exactement dans le cas étudié précédemment. L'échelle représente le côté du carré inscrit et les valeurs sont:

x = 0,362… et y = 2,7609…

Voir Brève 727

 

 

Bilan

Il existe une infinité de carrés inscrits dans un carré.

Celui dont les sommets sont les milieux du carré d'origine est le plus petit.

Cette page montre comment calculer les dimensions lorsque le carré inscrit passe par un point de coordonnées x = y (petit carré dans un coin du carré origine).

Un calcul semblable permet de calculer les dimensions dans le cas ou x est différent de y (Illustration).

 

 

 

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Sites

*      The ladder and box problem – Presh Talwalkar – Video en anglais

*    The position of a ladder leaning against a wall and touching a box under it – Mathematics - Forum

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/CarInscr.htm