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Édition du: 09/03/2024 M'écrire Brèves de Maths

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Quadrilatère dans le carré Un quadrilatère est inscrit dans un carré: propriétés.
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Quadrilatère inscrit dans un carré

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Problème

Un carré de côté unité.

Un quadrilatère a ses sommets sur chacun des côtés du carré.

Montrer que :

2 ≤ r² + s² + t² + u² ≤ 4

Pour chaque triangle r² = a² + (1 – d)² s² = b² + (1 – a)² t² = c² + (1 – b)² u² = d² + (1 – c)² Somme en regroupant a² + (1 – a)² + b² + (1 – b)² + c² + (1 – c)² + d² + (1 – d)²

La somme des carrés vaut 4 lorsque le quadrilatère est confondu avec le carré. Elle est égale à 2 lorsque les sommets du quadrilatère sont au milieu des côtés du carré.

Figure

Fonction y = x² + (1 – x)² = 2x² – 2x + 1

Comment étudier son domaine de variation pour x variant de 0 à 1 ?

Trois possibilités:

En dessinant le graphe: la fonction prend les valeurs de 0,5 à 1.

En calculant la dérivée: 4x – 2 = 0 => x = 1/2

En cherchant à isoler x par identification d'un carré:

Cette fonction passe par un minimum pour x = 1/2 et y = 2 × 1/4 = 1/2

y = 2x² – 2x + 1

Somme des carrés des côtés du quadrilatère

Chacune des quatre composantes varie entre 1/2 et 1.

4 x 1/2 ≤ r² + s² + t² + u² ≤ 4 x 1

2 ≤ r² + s² + t² + u² ≤ 4

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