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Édition du: 19/10/2020

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de nombres

 

 

Types de Nombres – Polynômes

Cunningham – Généralisés

Cunningham – Simples

Mersenne

Fermat

 

 

Cunningham simples

 

Nombres binomiaux (deux termes) égaux à une puissance plus ou moins 1.

Ils peuvent être généralisés en somme ou différence de deux puissances.

Ils peuvent être particularisés en nombres de Mersenne ou nombres de Fermat.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition et notation

>>> Liste

>>> Statistiques

>>> Exemples de factorisation

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

Allan Cunningham (1842-1928)

Mathématicien britannique né à Dehli (Inde).

Archéologue, militaire puis mathématicien expert en théorie des nombres.

Notamment: recherche des facteurs des grands nombres de la forme:

 

 

 

 

Le projet Cunningham, commencé en 1925 avec Woodall est toujours d'actualité. Il vise à recenser la décomposition en facteurs premiers des nombres de Cunningham pour b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 et n très grand.

Voir Contemporains

 

 

Approche

haut

 

Nombre de Cunningham

Nombre égal à une puissance pure plus ou moins 1.

 

Tableau

Le tableau indique les nombres puissances en marron et les nombres de Cunningham associé sur les lignes en haut (sur-Cunningham ou C+) et en bas (sous-Cunningham ou C-).

 

 

 

 

Définition et propriétés

haut

 

Les nombres de Cunningham (simples) sont du type binomial (somme algébrique de deux termes) dont le second terme est 1.

Les nombres b et n sont des nombres entiers positifs, avec n > 1.

 

 

Goldbach a montré que la somme des inverses des "sous-puissances" tend vers 1.

La somme des inverses des nombres listés ci-dessous (de 3 à 1727) est égale à 0,9714116313.

La somme pour les inverses des C+ atteint: 1,26…

 

 

Intérêt: rechercher les nombres de Cunningham qui sont premiers et, sinon, leur factorisation.

Les Cunningham premiers sont rares.

 

Cas des nombres de Mersenne qui détiennent le record des plus grands nombres premiers connus.

 

 

Tous les C- sont composés sauf éventuellement si b = 2

Si l'exposant est composé, il est également divisible.

 

bn – 1 est divisible par b – 1  (b>2)

bn.m – 1 est divisible par bm – 1  

 

 

Pour que 2n – 1 soit premier

 

n doit être premier.

 

 

Tous les C+ avec b impair sont divisibles par 2

La puissance d'un nombre impair est impaire.

  

(2k + 1)n + 1 est divisible par 2

 

Factorisation de 2k +1  à la puissance n et mise en évidence du facteur 2

 

 

 

Les C+ en 2n + 1 sont divisibles par 3 lorsque n est impair.

 

  

22k+1  + 1 est divisible par 3

Ex: 23 + 1 = 9 = 3 x 3

       25 + 1 = 33 = 3 x 11

 

Tous les C+ avec exposant impair sont divisibles

 

b2k+1  + 1 est divisible par b + 1

Ex: 77 + 1 = 823 543 = 8 x 102 943

 

Tous ces C+ avec n pair (n = 2h.k) sont divisibles

 

b2^h.q   + 1 est divisible par b2^h + 1

 

Conséquence des énoncés ci-dessus:

Condition nécessaire, mais non suffisante, pour que les C+ soient premiers: n = 2m

 

Ce sont les nombres de Fermat.

 

Nombres de Cunningham connus

 

Jusqu'à 98 chiffres et n jusqu'à 58.

 

 

Listes des nombres de Cunningham

haut

 

Nombre C-

3, 7, 8, 15, 24, 26, 31, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 124, 127, 143, 168, 195, 215, 224, 242, 255, 288, 323, 342, 360, 399, 440, 483, 511, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 999, 1023, 1088, 1155, 1224, 1295, 1330, 1368, 1443, 1520, 1599, 1680, 1727, …

 

Les seuls premiers (en rouge) sont les nombres de Mersenne.

 

Nombres C+

2, 5, 9, 10, 17, 26, 28, 33, 37, 50, 65, 82, 101, 122, 126, 129, 145, 170, 197, 217, 226, 244, 257, 290, 325, 344, 362, 401, 442, 485, 513, 530, 577, 626, 677, 730, 785, 842, 901, 962, 1001, 1025, 1090, 1157, 1226, 1297, 1332, 1370, 1445, 1522, 1601, 1682, 1729

 

Cette suite est égale à celle de gauche plus deux unités.

 

Statistiques jusqu'à 10 000

122 puissances pures (1,22%)

363 puissances pures et Cunningham (3,63 %)

9637 non puissance pure et non Cunningham (96,37%)

 

Les "non" jusqu'à 100:

6, 11, 12, 13, 14, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 29, 30, 34, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

 

Exemples de factorisation des nombres 2n  + 1 pour n de 100 à 110

n, C+, f (annonçant la factorisation), facteurs

 

Situation actuelle

Les nombres de Cunningham factorisés jusqu'à:

21300 ,  3850 ,  5550  ,  6500  ,  7450  ,  1040  , 11350  , 12350

 

 

 

 

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*      Chaines de Cunningham

Voir

*      Factorielle première (plus ou moins 1)

Sites

*      Cunningham number - Wikipedia

*      Allan Cunningham – Wikipédia

*      Projet Cunningham – Wikipédia

*      Cunningham Number – Wolfram MathWorld

*      Cunningham Numbers – Numbers Aplenty

*      The Cunningham Project – Sam Wagstaff

*      Allan Joseph Champneys Cunningham – Biography

*      OEIS A045542 - Sub-perfect powers: perfect powers (squares, cubes etc.) minus 1

*      Aurifeuillian factor – Prime Wiki

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPADD/Cunningh.htm