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Édition du: 04/06/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Graphe Topologie Géométrie Logique Dénombrement Jeux	Nombres et théorème de RAMSEY
	Petits Nombres (Intro.)	Valeurs – Table	EN BREF
	Principe des tiroirs	Propriétés et calculs	R(3, 3) = 6	R(3, 3, 3)
	Assemblée	Bornes – Historique	R(3, 4) = 9	R(5, 3) = 14
	Graphe	Ramsey – Biographie	R(4, 4) = 18

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Nombre de Ramsey R(3,3) = 6 Ce nombre est le plus simple à déterminer.
	Sommaire de cette page >>> Approche >>> Démonstration avec les graphes >>> Jeux avec papier crayon – Jeu de Sim	Débutants Dénombrement Glossaire Combinatoire

Approche		haut
C'est le nombre le plus facile à déterminer, même intuitivement.	R(3, 3) = 6
Exemple d'application concret Il faut et il suffit de rassembler six personnes pour que, au moins, trois se connaissent ou que trois ne se connaissent pas. On dit que le nombre de Ramsey est 6 pour ce cas {3, 3}. On note R(3, 3) = 6. Tableau Six personnes A, B, C, D, E et F. Seize cas de connaissances symbolisés par les croix dans les colonnes Les deux dernières colonnes comptabilisent la quantité de connaissances ou non La couleur jaune foncée montre qu'il existe toujours trois personnes, ou plus, qui se connaissent ou qui ne se connaissent pas.

Démonstration avec les graphes		haut
Cinq sommets Le dessin montre qu'il est possible de colorier le pentagone complet avec deux couleurs sans créer de triangle. Notez bien que les triangles devraient être construits sur les sommets de l'hexagone. Les triangles rouges de la figure ne comptent pas. Le nombre de Ramsey est supérieur à 5.	Existence d'un tracé complet avec deux couleurs sans formation d'un triangle.
Six sommets Parmi les cinq arêtes issues d'un sommet donné, et selon le principe des tiroirs, trois sont d'une couleur et deux de l'autre. La figure donne un exemple. Avec les trois bleus, une arête supplémentaire (pointillé) doit être rouge pour ne pas créer de triangle bleu. Comme c'est obligatoire pour les trois cas, on forme nécessairement un triangle rouge. Le raisonnement vaut si on échange les couleurs. En coloriant le graphe complet à six sommets (R6), on trouve inévitablement un triangle monochrome Le nombre de Ramsey (3, 3), supérieur à 5, est donc 6. En fait, il a été prouvé qu'il existe toujours deux triangles monochromatiques.	Quelque soit le choix de la couleur, le tracé en pointillé induit inévitablement un triangle monochrome.

Jeux avec papier crayon – Jeu de Sim
Jeux avec six points On peut imaginer un jeu à deux. Six points sont dessinés en un cercle approximatif. Chaque joueur dessine un trait rouge pour l'un et bleu pour l'autre. Le premier qui dessine un triangle de sa couleur a perdu.	Évidemment, le jeu ne peut pas se terminer par un match nul car R(3, 3) = 6.

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Retour	Ramsey: Biographie
Suite	Ramsey: R(4, 3) = 9
Voir	Énigmes et paradoxes Graphe de Delaunay Intelligence artificielle Jeux – Index Logique formelle Percolation Relier les points d'un seul coup de crayon Topologie – Glossaire Tour de Brahmâ	Énigmes et paradoxes Graphe de Delaunay Intelligence artificielle Jeux – Index Logique formelle Percolation Relier les points d'un seul coup de crayon Topologie – Glossaire Tour de Brahmâ
Sites	Voir Références en page d'introduction
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Topologi/aaaRamse/R33.htm