NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 10/04/2019

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                      Brèves de Maths

 

COMPTER

 

Débutants

Général

MOYENNES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Compter

Dénombrer

Calcul

 

Débutants

Introduction

Comparaison

ArithmGéom

 

Sommaire de cette page

>>>  Moyenne arithmético – géométrique

>>>  Constante de Gauss

  

 

 

Moyenne arithmético-géométrique

 

Définition

 

Soit deux nombres

a

b

Deux suites

un

vn

Valeur initiale

u0 = a

vn = b

Valeur récurrente

un+1 = Ma (un, vn)

vn+1 = Mg (un, vn)

Limite des suites

L

L

 

Les deux suites, l'une impliquant la moyenne arithmétique et l'autre la moyenne géométrique, convergent vers la valeur la valeur limite L.

 

Utilisée en géométrie: calcul du périmètre de l'ellipse.

 

Départ

 

Moyenne Arithmétique

Ma = (A + B) / 2

Moyenne géométrique

Mg =  (A.B)

Ma

 Mg

Égalité si

A = B

 

Démonstration

 

Prenons l'expression

A – B

Son carré est positif

Et en développant

(A – B) ²  0

A + B – 2  (A.B)  0

(A + B) / 2    (A.B)

 

Itération (idée de Legendre et Gauss)

 

An+1 = Man

Bn+1 = Mgn

Le nombre A suivant est égal à la moyenne arithmétique des deux nombres précédents

Le nombre B suivant est égal à la moyenne géométrique des deux nombres précédents

 

 

Exemples

A                               B

5                                20

12,5                          10

11,25                        11,18

11,21516                 11,215115

11,2151429             11,2151429

11,2151429             11,2151429

 

A                               B

1                                2

1,5                             1,414213562

1,457106781           1,456475315

1,456791048           1,456791014

1,456791031           1,456791031

1,456791031           1,456791031

 

A                               B

1                                1,493895072

1,246947536           1,222250004

1,23459877             1,234537011

1,23456789             1,23456789

1,23456789             1,23456789

 

 

Cette moyenne arithmético – géométrique a été utilisée par Gauss pour calculer la valeur de .

 

La combinaison de cette  moyenne et des intégrales elliptiques du premier ordre donne un résultat étonnant, résultat fondamental qui permet de calculer les intégrales elliptiques aussi rapidement que les moyennes arithmétiques.

 

 

 

Constante de Gauss (G)

Définition

Moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la .

Constante de Gauss (G)
           et son inverse (M)

 

L1 est la première constante de la lemniscate.

L2 est la deuxième.

 

 U est la constante omniprésente (ubiquitous constant).

 

G = 0,83462684167407318624

 

M = 1/G = 1,1981402347355922075…

 

L1 = Pi.G = Pi / M = 2,6220575542921198104…

 

L2 = M/2 = 0,59907011736779610376…

 

U = M /   = 0,84721308479397908665…

 

Programme de calcul de la constante

Réinitialisation et demande de calculs avec 30 chiffres.

Initialisation des deux valeurs de départ.

Boucle de calcul avec 10 itérations

Calcul des deux moyennes mise dans des variables temporaires. Le calcul de BB doit se faire avec A et non la nouvelle valeur BB.

Impression des deux valeurs de G = 1/ A ou 1/B.

Mise à jour de A et B avec les nouvelles valeurs.

 

Voir ProgrammationIndex

1, 1;                                          0,70710678118654752440

2, 0,82842712474619009760; 0,84089641525371454305

3, 0,83461519927772999779; 0,83463848431402505476

4, 0,83462684163347173961; 0,83462684171467463295

5, 0,83462684167407318631; 0,83462684167407318624

6, 0,83462684167407318624; 0,83462684167407318624

Résultat du calcul par programme

Avec six itérations seulement les deux valeurs convergent avec 20 décimales.

 

Calcul par intégrale

Intégrale trouvée par Gauss en 1799.

Cette constante est transcendantale.

 

Expression de G en fonction de Gamma.

 

Constante qui intervient dans le calcul.

 

 

Note: G est proche du cosinus hyperbolique du nombre d'or.

 

 

 

 

Suite

*    MoyenneIndex

*    Calcul rapide de Pi

Voir

*    Dénombrement

*    Isopérimètre

*    Moyenne et médiane

*    Opérations

Site

*      Constante de Gauss – Wikipédia

*      Gauss's Constant – Wolfram Mathworld

*    OEIS A014549 – Decimal expansion of 1 / M(1,sqrt(2)) (Gauss's constant)

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Moyenne/AritGeom.htm