moyennes arithmético-géométrique

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		Sommaire de cette page >>> Moyenne arithmético – géométrique >>> Constante de Gauss

Moyenne arithmético-géométrique

Définition

Soit deux nombres	a	b
Deux suites	u_n	v_n
Valeur initiale	u₀ = a	v_n = b
Valeur récurrente	u_n+1 = M_a (u_n, v_n)	v_n+1 = M_g (u_n, v_n)
Limite des suites	L	L

Les deux suites, l'une impliquant la moyenne arithmétique et l'autre la moyenne géométrique, convergent vers la valeur la valeur limite L.

Utilisée en géométrie: calcul du périmètre de l'ellipse.

Départ

Moyenne Arithmétique	Ma = (A + B) / 2
Moyenne géométrique	Mg = (A.B)
Ma	Mg
Égalité si	A = B

Démonstration

Prenons l'expression

A – B

Son carré est positif

Et en développant

(A – B) ² 0

A + B – 2 (A.B) 0

(A + B) / 2 (A.B)

Itération (idée de Legendre et Gauss)

A_n+1 = Ma_n	B_n+1 = Mg_n
Le nombre A suivant est égal à la moyenne arithmétique des deux nombres précédents	Le nombre B suivant est égal à la moyenne géométrique des deux nombres précédents

Exemples

A B

5 20

12,5 10

11,25 11,18

11,21516 11,215115

11,2151429 11,2151429

A B

1 2

1,5 1,414213562

1,457106781 1,456475315

1,456791048 1,456791014

1,456791031 1,456791031

A B

1 1,493895072

1,246947536 1,222250004

1,23459877 1,234537011

1,23456789 1,23456789

1,23456789 1,23456789

Cette moyenne arithmético – géométrique a été utilisée par Gauss pour calculer la valeur de .

La combinaison de cette moyenne et des intégrales elliptiques du premier ordre donne un résultat étonnant, résultat fondamental qui permet de calculer les intégrales elliptiques aussi rapidement que les moyennes arithmétiques.

Constante de Gauss (G)
Définition	Moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la .
Constante de Gauss (G) et son inverse (M) L₁ est la première constante de la lemniscate. L₂ est la deuxième. U est la constante omniprésente (ubiquitous constant).	G = 0,83462684167407318624… M = 1/G = 1,1981402347355922075… L₁ = Pi.G = Pi / M = 2,6220575542921198104… L₂ = M/2 = 0,59907011736779610376… U = M / = 0,84721308479397908665…
	Programme de calcul de la constante Réinitialisation et demande de calculs avec 30 chiffres. Initialisation des deux valeurs de départ. Boucle de calcul avec 10 itérations Calcul des deux moyennes mise dans des variables temporaires. Le calcul de BB doit se faire avec A et non la nouvelle valeur BB. Impression des deux valeurs de G = 1/ A ou 1/B. Mise à jour de A et B avec les nouvelles valeurs. Voir Programmation – Index
1, 1; 0,70710678118654752440 2, 0,82842712474619009760; 0,84089641525371454305 3, 0,83461519927772999779; 0,83463848431402505476 4, 0,83462684163347173961; 0,83462684171467463295 5, 0,83462684167407318631; 0,83462684167407318624 6, 0,83462684167407318624; 0,83462684167407318624		Résultat du calcul par programme Avec six itérations seulement les deux valeurs convergent avec 20 décimales.
Calcul par intégrale Intégrale trouvée par Gauss en 1799. Cette constante est transcendantale. Expression de G en fonction de Gamma. Constante qui intervient dans le calcul.
Note: G est proche du cosinus hyperbolique du nombre d'or.		…

Suite	Moyenne – Index Calcul rapide de Pi
Voir	Dénombrement Isopérimètre Moyenne et médiane Opérations
Site	Constante de Gauss – Wikipédia Gauss's Constant – Wolfram Mathworld OEIS A014549 – Decimal expansion of 1 / M(1,sqrt(2)) (Gauss's constant)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Moyenne/AritGeom.htm