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Édition du: 13/01/2023

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

 

Nombres premiers

 

Types de nombres

Nombres premier – Quantité  

Quantité

Fonction Pi (n)

Théorème des NP

Historique de Pi (n)

Tables Pi (n)

Intervalle minimum

Quantité de jumeaux

Premiers de Ramanujan

Encadrement

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

 

 

NOMBRES PREMIERS

Encadrement – Bornes

 

On connait approximativement le nombre premier p de rang n. Ici, on se pose la question de savoir quel est l'intervalle dans lequel on est sûr de le trouver.

Quelles sont les formules qui précisent la borne inférieure comme la borne supérieure ? Notion d'encadrement de la valeur du nombre premier.

Nous allons prendre une démarche expérimentale; pour une explication sur la démarche théorique s'en remettre aux sites cités en référence (niveau avancé, fonction de Tchebychev).

  

 

Sommaire de cette page

>>> Approche – Approximation de p

>>> Encadrement classique

>>> Encadrement avec constante

>>> Encadrement avec fonction

>>> Bilan – Formules (théorèmes)

>>> Encadrement le plus performant (2017)

>>> Historique

  

Débutants

Nombres premiers

 

Glossaire

Nombres premiers

NP: Nombres premiers

Anglais: Rosser's theorem; lower bound; upper bound

 

Approche – Approximation du énième premier

haut

 

Le théorème des nombres premiers nous renseigne:

 

 

Le nombre premier p de rang n est approximativement égal au rang multiplié pat son logarithme naturel.

 

Amélioration  avec termes complémentaires en logarithmes doubles.

 

Le nombre premier est à peine supérieur à cette expression avec un logarithme de logarithme, parfois noté ln2(n)

  

Et même mieux: Cipolla en 1902. Formule valable pour de très grands nombres premiers (valeur asymptotique).

 

 

Voir Formule performante 

 

Exemples

Ces trois formules produisent des nombres inférieurs aux nombres premiers.

En rouge, chiffres significatifs rendus par la formule.

  

Voir Quantité de nombres premiers / Brève 47/929

 

 

Encadrement classique

haut

 

Postulat de Bertrand – Théorème de Tchebychev

 

Entre n et 2n, il existe toujours un nombre premier.

 

 

Borne maximale
pour le énième nombre premier

p(n) < 4n

 

Conséquence

Il existe n nombres premiers entre 1 et 2n.

 

La table montre le énième nombre premier p(n) et la quantité Q de nombres premiers entre 1 et 2n.
La colonne p(d) indique le dernier nombre premier inférieur à la limite 2n.

 

On note que     p(n) << Q

Le nième premier est très inférieur à 2n.

 

 

Encadrement avec constante

haut

 

Sur ce graphique, les nombres premiers p sont représentés par la courbe bleue.

 

Les courbes verte et rouge encadrent la bleue, au moins à partir du cinquième nombre premier (p = 13).

 

 

 

 

 

 

Comparaison des nombres premiers avec deux courbes enveloppes

            

Courbe verte:    K = 0; courbe rouge: K = 1

 

 

On peut chercher à resserrer l'encadrement avec des valeurs de K comprise entre 0 et 1.

On représente ici, les écarts par rapport aux nombres premiers (barre noire sur l'axe des x).

En bleu, on retrouve les deux situations précédentes avec K = 0 et K = 1.

Si la courbe K = 0,9 reste en dessous de la barre, les deux autres la croisent et ne peuvent pas prétendre à un encadrement du moins pour ces valeurs des nombres premiers.

  

Écart pour K de 0 à 1 pour les nombres premiers de 3 à 229

 

 

Encadrement avec fonction

haut

 

Idée

Avec la constante K fixe les courbes, aussi proches soient-elle, s'éloignent avec des nombres premiers de plus en plus grands.

L'idée consiste à rendre cette valeur variable en fonction du rang n.

  

Résultat

Sur les courbes ci-dessous, hors, la courbe verte (F = 0,75), les quatre autres enveloppent la barre des premiers, à partir d'une certaine valeur.

 

 

Écart pour F de 0 à 1 pour les nombres premiers de 29 à 15 millions

(par échantillonnage avec un pas de 10 000)

 

Avec F valant: 0; 0,5; 0,75; 0,9; 1.

 

 

Bilan – Formules

haut

 

 

Borne inférieure

 

 

Constante

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec -1 et ln

 

n

p(n) MINIMUM

> 1*

> 1*

Prouvée si l'hypothès  de Riemann est admise.

> 1*

n > 8 600*

 

> 1*

2 ≤ n < 21 466**

21 466 ≤ n < 688 383**

688 383 ≤ n*

 

* Théorèmes (démontrés); ** Proposées par Jean-Philippe Pène

 

 

 

 

Borne supérieure

 

 

Constante

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec -1 et ln

 

n

p(n) MAXIMUM

> 5

> 19

> 109

> 2 193

> 8 601

> 15 985*

 

 

> 5*

> 12*

2 ≤ n < 70**

70 ≤ n < 712 **

712 ≤ n < 688 383**

27 076 ≤ n*

Prouvée si l'hypothès  de Riemann est admise.

688 383 ≤ n*

 

* Théorèmes (démontrés) ; ** Proposées par Jean-Philippe Pène

 

 

Encadrement le plus performant (2017)

haut

 

Point des recherches

En 1902, M. Cipolla propose cette formule générale:

M. Cipolla, La determinazione assintotica dell’ nimo numero primo

 

Le terme en Sigma se décline pour les valeurs successives de k.

En 2017, Christian Axler – Démontre les formules ci-dessous pour k = 2. Voir Historique

 

 

 

Formules

n ≥ 46 254 381

 

n ≥ 2

  

Voir Brève 47/929

 

 

Exemples pour n en puissances de 10

En jaune, valeurs de n pour lesquelles les formules s'appliquent.

 

 

Voir Nombres premiers de rang 10k

 

 

 

Historique

 

1896 – Hadamard et De la Vallée Poussin, indépendamment, démontrent le théorème des nombres premiers: p(n) ≈ n ln(n) – Valeur asymptotique pour n tendant vers l'infini.

 

1902 – M. Cipolla améliore ce résultat avec une formule en p(n) = n (ln(n) + ln2(n) – 1 + Σ …). Ce qui implique que p(n) > n ln(n); p(n= < n (ln(n) + ln2(n)); p(n= > n (ln(n) + ln2(n) – 1); etc. avec plus de termes et cela à partir d'un certain n.

 

1939 – John Rosser: théorème de Rosser: le énième nombre premier p(n) vérifie: p(n) ≥ n ln(n). Il montre également que p(n) < n(ln(n) + 2 ln2(n) pour n > 3.

 

1962 – Rosser et Schoenfeld: p(n) ≤ n ((ln(n) + ln2(n) pour n > 5.

 

1975 – Rosser et Schoenfeld: p(n) ≥ n (ln(n) + ln2(n) – K) avec K = 3/2. puis cette constance est réduite  à C = 1,0072629 par Robin.
Ils montrent également que p(n) < n (ln(n) + ln2(n) – 0,5) pour n > 19. 

 

1983 – Robin donne: C = 1 pour 1 < n ≤ e598 et pour n ≥ e1800.

 

1996 – Jean-Pierre Massias et Guy Robin proposent des bornes effectives pour les nombres premiers. C'est la majorité des formules démontrées citées ci-dessus. Cf. page 218

 

1999 – Pierre Dusart démontre que C= 1 est valable pour tout n > 1.

 

2017 – Christian Axler – Démontre les formules en ln22 vues ci-dessus (meilleure performance).

 

 

 

Haut de page (ou double-clic)

 

Suite

*      Historique de Pi(n)

*      Fonction Pi (n)

*      Énième nombre premier

*      Propriétés des nombres premiers

*      Hypothèse de Riemann

*      Nombres premiersIndex

*      FAQ sur les nombres premiers

Voir

*      Liste de nombres premiers

*      Consécutifs

*      Facteurs premiers autour de 1000

*      Jumeaux

*      Nombres composés

*      Premiers en tableaux, en spirales …

*      Représentation des nombres

*      Séquences

Sites

*      Fonction de compte des nombres premiers – Wikipédia

*      Prime counting function – Wolfram MathWorld

*      The Nth Prime page – Andrew Booker – Pour connaitre le énième nombre premier

*      OEIS A000720 – pi(n), the number of primes <= n

*      Rosser's Theorem – Wolfrma MathWorld

 

Théorie (** signifie: niveau universitaire)

*      Explicit bounds for some functions of prime numbers – Barkley Rosser -1941

*      Bornes effectives pour certaines fonctions concernant les nombres premiers** – Jean-Pierre Massias et Guy Robin - 1996

*      Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers** – Pierre Dusart – 1998

*      The kth prime is greater than …** – Pierre Dusart – 1999  (réf 1)

*      New estimates for nth prime number** – Christian Axler – 2017 

*      New estimates for nth prime number** – Christian Axler – 2019

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier\Encadrem.htm