nombres périodiques, études de cas

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/09/2017 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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INDEX Fractions Représentation des nombres	Débutants		Tour d'horizon	Longueur de la période
	Nombres décimaux		Nombres périodiques	Dichotomie de la période
	Premiers longs		Nombres cycliques	Extraction des décimales
	Fractions en 1/99…99		142 857	Égalité 0,999 = 1
	Cas particuliers		Puissances dans la période
		Sommaire de cette page >>> Développements décimaux remarquables >>> Effet de 33 >>> Fractions de 1/2 à 1/19 >>> 1/53 - exemple de 4^e catégorie >>> Nombre périodique et puissance de 2

NOMBRES PÉRIODIQUES

Configurations remarquables

Analyse des nombres périodiques particuliers.

Observations.

Développement décimal révélant les puissances des nombres

Voir Puissances dans la période et autres configurations

Développements décimaux remarquables
Unité et répétition de nombres Puis extension
Chiffres (presque)		>>>
Puissance de 2		>>>
Puissance de 3 Puis généralisation		>>>
Fibonacci		>>>

Nombres entiers Puis extension		>>>
Nombres impairs, suivis des nombres pairs		>>>
Nombres pairs, suivis des nombres impairs		>>>
Multiples de 5 Puis généralisation

Comment trouver la fraction qui correspond à une suite de suite de chiffres donnée

Utilisez la calculette de votre ordinateur en mode scientifique pour disposer de suffisamment de chiffres. Afficher votre série de chiffres et calculer l'inverse.

Procédure:

1. Entrez le nombre 0,010203040506070809;

2. Cliquez sur la flèche pour obtenir le deuxième jeu de touches;

3. Cliquez sur 1/x pour obtenir l'inverse du nombre affiché;

4. Vous obtenez le nombre 98,01000… La suite des zéros indique que la fraction avec 9801 devrait convenir; et

5. Vérifiez ce résultat en calculant la fraction 100/9801.

EFFET de 33

12, 12 12 12 12 …

= 400 / 33

= 2 / 0,165

Nombre cyclique.

Celui-ci est un exemple.

Voyez la liste à gauche.

Notez la répétition du multiple de 3.

QUOTIENTS PÉRIODIQUES en 0,1

0, 10 10 10 …	=	10 /	99
0, 11 11 11 11 …	=	11 /	99
0, 12 12 12 12 …	=	12 /	99
0, 13 13 13 13 …	=	13 /	99
		Etc.
0, 10 20 30 40 50 60 70 80 9 10 11 12 13 14 ...	=	1 000 /	9 801
0, 100 200 300 400 500 600 …	=	2001 /	19970
0, 1000 2000 3000 4000 5000 …	=	19501 /	194971
		Etc.
0, 11 22 33 44 55 66 77 89 00 11 22 33 44 ...	=	100 /	891
0, 111 222 333 444 555 666 777 889 000 111 ...	=	1 000 /	8 991
0, 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 ...	=	10 000 /	89 991
0, 11111 22222 33333 44444...	=	11 111 /	99 998
0, 111111 222222 333333 444444...	=	111111 /	999998
		Etc.

Les fractions de 1/2 à 1/19 et leurs multiples

Légende

La colonne du 7 par exemple, donne toutes les valeurs des fractions de 1/7 = 0, 142857… à 6/7 = 0, 857142… Le jaune témoigne du fait que 7 est un nombre premier.

Les cases en marron montrent les fractions à développement décimal limité (suivies que de 0).

En pied de colonne, L est la longueur du cycle périodique et C la quantité de cycles rencontrés.

Tableaux

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0, 5	0, 333	0, 25	0, 2	0, 166	0, 1428571429	0, 125	0, 111	0, 1
2		0, 666	0, 5	0, 4	0, 333	0, 2857142857	0, 25	0, 222	0, 2
3			0, 75	0, 6	0, 5	0, 4285714286	0, 375	0, 333	0, 3
4				0, 8	0, 666	0, 5714285714	0, 5	0, 444	0, 4
5					0, 833	0, 7142857143	0, 625	0, 555	0, 5
6						0, 8571428571	0, 75	0, 666	0, 6
7							0, 875	0, 777	0, 7
8								0, 888	0, 8
									0, 9

L	0	1	0	0	1	6	0	1	0
C		2			2	1		8

	11	12	13	14	15
1	0, 0909	0, 08333	0, 07692307692	0, 07142857143	0, 0666
2	0, 1818	0, 16666	0, 1538461538	0, 1428571429	0, 1333
3	0, 2727	0, 25	0, 2307692308	0, 2142857143	0, 2
4	0, 3636	0, 33333	0, 3076923077	0, 2857142857	0, 2666
5	0, 4545	0, 41666	0, 3846153846	0, 3571428571	0, 3333
6	0, 5454	0, 5	0, 4615384615	0, 4285714286	0, 4
7	0, 6363	0, 58333	0, 5384615385	0, 5	0, 4666
8	0, 7272	0, 66666	0, 6153846154	0, 5714285714	0, 5333
9	0, 8181	0, 75	0, 6923076923	0, 6428571429	0, 6
10	0, 9090	0, 83333	0, 7692307692	0, 7142857143	0, 6666
11		0, 91666	0, 8461538462	0, 7857142857	0, 7333
12			0, 9230769231	0, 8571428571	0, 8
13				0, 9285714286	0, 8666
					0, 9333
L	2	1	1	6	1
C	9	2	2	1	2

	16	17	18	19
1	0, 0625	0, 05882352941	0, 0555	0, 05263157895
2	0, 125	0, 1176470588	0, 1111	0, 1052631579
3	0, 1875	0, 1764705882	0, 1666	0, 1578947368
4	0, 25	0, 2352941176	0, 2222	0, 2105263158
5	0, 3125	0, 2941176471	0, 2777	0, 2631578947
6	0, 375	0, 3529411765	0, 3333	0, 3157894737
7	0, 4375	0, 4117647059	0, 3888	0, 3684210526
8	0, 5	0, 4705882353	0, 4444	0, 4210526316
9	0, 5625	0, 5294117647	0, 5	0, 4736842105
10	0, 625	0, 5882352941	0, 5555	0, 5263157895
11	0, 6875	0, 6470588235	0, 6111	0, 5789473684
12	0, 75	0, 7058823529	0, 6666	0, 6315789474
13	0, 8125	0, 7647058824	0, 7222	0, 6842105263
	0, 875	0, 8235294118	0, 7777	0, 7368421053
	0, 9375	0, 8823529412	0, 8333	0, 7894736842
		0, 9411764706	0, 8888	0, 8421052632
			0, 9444	0, 8947368421
				0, 9473684211
L	0	16	1	18
C		1	8	1

Observations

Toute la colonne en marron, toutes les fractions à développement décimal limité: 2, 4, 5, 8, 10, 16
Des puissances de 2 et de 5 >>>

Lorsque le cycle est unique (C =1), la période est égale au nombre moins 1. C'est le cas pour 7, 17 et 19, des nombres premiers. >>>

Pour les nombres premiers le produit L.C est égal au nombre moins 1. >>>

Analyse de cas particuliers

Le cas de 1/7 = 0,142758 … fait l'objet d'une page complète

1 / 53 – Exemple avec 4 cycles

1/53 = 0,0188679245283 01
Nombre de période 13 = 1/4 du maximum (53 / 4 = 13,25)

n/53 est un nombre périodiques de 4^e catégorie.

Cela veut dire que la multiplication de 1/53 par le chiffre n donne quatre résultats ou leurs permutations circulaires.

n	A	B	C	D
1	0,0188679245283 01
2		0,0377358490566 03
3		0,0566037735849 05
4			0,0754716981132 07
5				0,0943396226415 09
6			0,1132075471698 11
7			0,1320754716981 13
8				0,1509433962264 15
	Etc.

1 /49 – Puissance de 2

Fraction en 1/49

1/49= 0,02 04 08 16 32 65 30 61 22 44 89 79 59 18 36 73 46 93 87 75 51 02 04 08 16 32 65 …
Période 42

n/49 (avec n 7k) Ces nombres présentent une permutation des chiffres.
Voici les valeurs de n/49 pour n de 2 à 6:

0,040816326530612244897959183673469387755102 0408163265306122448979591836

0,061224489795918367346938775510204081632653 0612244897959183673469387755

0,081632653061224489795918367346938775510204 0816326530612244897959183673

0,102040816326530612244897959183673469387755 1020408163265306122448979592

0,122448979591836734693877551020408163265306 1224489795918367346938775510

Puissances de 2

Dans le nombre 1/49, les puissances de 2 sont faciles à repérer au départ, ensuite le motif est plus compliqué à retrouver.

Il faut retrancher les puissances au fur et à mesure, un peu comme dans le procédé de division.

02	04	08	16	32	65	30	61	22	44	89	79	59	18
	Puissance de 2				64
	Faire la différence				01	30
	Etc.				01	28	61
						02	56	22
							05	12	44
								10	24	89
									20	48
	Ça se complique à nouveau									41	79
	Le 1 est utilisé comme centaine									40	96
	Soit 179 - 96 = 83										83	59
											81	92
	On passe au 10 000										01	67	18
	Etc.										01	63	84

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Aussi	Calcul mental – Index Clé de divisibilité Fractions continues Fractions de Farey Géométrie – Index Nombre 0,1347… Nombres décimaux Nombres rationnels Nombres têtus Théorie des nombres – Index
DicoNombre	Nombre 89
Site	Fractions with Special Digit Sequences – Robert Munafo
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