NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Fractions

NOMBRES PÉRIODIQUES

 

Glossaire

Fractions

 

INDEX

 

Fractions

 

Représentation des nombres

 

Débutants

Tour d'horizon

Longueur de la période

Nombres décimaux

Nombres périodiques

Dichotomie de la période

Premiers longs

Nombres cycliques

Extraction des décimales

Fractions en 1/99…99

142 857

Égalité 0,999 = 1

Cas particuliers

 

Sommaire de cette page

>>> Détermination de la longueur

>>> Calcul du développement décimal

>>> Pourquoi périodique? – Une approche

>>> Divisibilité des nombres en 99…9

>>> Théorème et sa démonstration

>>> Graphe: longueur de la période

 

 

 

 

NOMBRES PÉRIODIQUES

Longueur de la période

 

Une fraction; son développement décimal périodique; quelle est la longueur de la période?

 

Voir Cartographie des nombres périodiques

 

 

Détermination de la longueur

 

Soit le développement décimal de la fraction 1/p. La longueur maximale de la période est égale à p – 1.

 

La longueur est égale à la valeur maximale ou un sous-multiple.

 

 

La longueur de la période L est déterminée par la plus petite valeur telle que:

 

Calcul de la période P


 

 

Pour p = 7

La période est de 6 chiffres

 

P = 999 999 / 7 = 142 857

 

 

 

Calcul du développement décimal

Formule de base

 

Quel est le développement décimal de 7/41?

 

On trouve que:

*       105 divisé par 1 donne un reste de 1 et

*       par conséquent: 41 divise 99 999 avec 2 439 comme quotient.

 

 

 

 

 

 

 

Pourquoi périodique? – Une approche

 

*      Lorsqu'on divise un nombre par un autre, le reste ne peut pas être plus grand que le diviseur.

 

 

 

*      On exprime le fait que la division de a par b donne un reste r par la relation ci-contre.

 

*      Pour trouver les décimales dans cette division, on divise 10 fois le reste. Cela donnera la première décimale.

 

*      Cherchons les décimales suivantes.

 

*      Le processus ne se répète pas sans fin, car au pire, toutes les valeurs du reste sont explorées et le reste suivant est forcément l'un de ceux déjà trouvé.

 

*      Sachant que le reste nul est exclu, il reste b-1 possibilités de restes et donc la même quantité de décimales possibles.

 

 

Soit la division de a par b: il existe b types de restes possibles: ce sont toutes les valeurs de 0 à b – 1.

Exemple: pour la division par 3, les restes possibles sont: 0, 1 et 2.

 

a

b

a = bQ + r

r

Q

La division et la relation

 

10r

b

Q,q1

r1

q1

Q est la partie entière du quotient et q1 est la première décimale.

 

10r1

b

Q,q1q2

r2

q2

La deuxième décimale.

 

Etc.

 

 

Le développement périodique de la fraction a/b comporte, au plus,

b – 1 décimales.

Voir Exemple de la division par 7 /  Division posée

 

 

 

Divisibilité des nombres en 99…9

 

 

Tout nombre n,  non divisible par 2 ou 5, divise un repdigit en 9 (R9) de q chiffres.

 

Le tableau montre cet effet pour les nombres de 2 à 15.

*       les nombres divisibles par 2 ou par 5 ne sont pas diviseurs d'un nombre en 9.

*       tous les nombres premiers le sont. La colonne Rep9 identifie le nombre avec sa quantité de 9 (L) et la division donne P, la période du nombre périodique 1/n.

*       Parmi eux, ici, seul 9 est un nombre composé qui divise 9 (trivial). Les suivants sont 21, 27, 33, 39 et 49 pour n jusqu'à 50.

 

 

Programme

 

On fixe la recherche au 25 premiers nombres (nmax), par exemple.

 

Boucle examinant n pour toutes les valeurs de 2 à nmax

 

Si n n'est pas divisible par 2 (mod) et pas par 5 alors  recherche du premier repdigit en 9 qui est divisible par n.

R est le repdigit en 9 qui grandit en ajoutant un 9 à chaque itération.

 

Si le nouveau R est divisible par n, on affiche  le nombre n, la longueur du nombre en 9 et la division R/n qui est la période (partie répétitive) de ce nombre périodique.

 

Ayant trouvé la divisibilité (R mod n = 0), on force la fin de boucle en imposant: i = nmax.

 

L'exécution du programme produit les nombres en bleu. Par exemple avec 7, il faut attendre le repdigit avec six 9 (L = 6):

 

 

 

Quel est le développement décimal de 7/41

On trouve que 41 divise 99 999 et que 99 999 / 41 = 2 439

 

 

 

 

 

Théorème et sa démonstration

Théorème

Pour tout nombre n > 1,

tel que PGCD(10, n) = 1,

il existe un nombre entier m

(m < n) tel que:
.

 

Rappel de la relation en les repdigits et les puissances de 10.

   1000 – 1 = 999

   10k – 1 = 99…9k

Démonstration

PGCD (10, n) = 1

PGCD (10r , n) = 1

 

Aucun des nombres 10, 102, .. 10n n'est divisible par n

Comme il n'y a que n – 1 restes possibles, il en existe deux identiques:

Or PGCD(10v , n) = 1

Il reste

 

Graphe montrant la longueur de la période pour 1/n jusqu'à n = 90

  

Valeurs numériques en commençant par n = 1; les groupes en jaunes commencent par n = 1, 20, 40, 60 et 80

[    0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18,

 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6,

 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58,

1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13,

 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1]

Voir Calcul de la période et de sa longueur – Programmation

 

 

 

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Site

*    OEIS A051626 - Length of the period of decimal representation of 1/n.

*    OEIS – Toutes les entrées relatives au développement décimal de 1/n.

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