Trouver les nombres connaissant la somme et le produit

Édition du: 23/10/2022

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Trouver k nombres

connaissant la SOMME et le PRODUIT

La somme de ces nombres est 12 et leur produit 36. Trouver ces nombres.
La solution est unique: 1 + 2 + 3 + 6 = 12 et 1 × 2 × 3 × 6 = 36.

Comment s'y prendre pour trouver ces nombres. Y-a-t-il toujours une ou plusieurs solutions ?
Pour éviter la répétition de "1" qui ne change pas le produit mais augmente la somme à loisir, on se restreint à la somme de nombres distincts.

Sommaire de cette page

>>> Approche – Exemple 1

>>> Approche – Exemple 2

>>> Solution

>>> Toutes des possibilités S1-21 et P20-40

>>> P = 300 –Toutes les sommes possibles

>>> Bilan

>>> Exemple de recherche

Débutants

Somme

Glossaire

Addition

Rappel pour deux nombres

1) Équation à résoudre
Nous avons deux inconnues x et y
pour deux équations S = x + y et P = x·y, S et P étant connus.
Il s'agit de résoudre une équation du deuxième degré.

2) Identités remarquables
(x – y)² = (x + y)² – 4 xy

Exemple:
S = 16 P = 55
(x –y)² =16² – 4 ×55 = 256 – 220 = 36 = 6²
Avec x + y = 16 et x – y = 6 => x = 11 et y = 5

3) Formule rapide
Une solution plus rapide est la suivante:

Si x + y = 2m et xy = p, alors:

Exemple avec S pair:

S = 16 P = 55

Exemple avec S impair:

S = 17 P = 42

4) Méthode valable aussi pour k nombres
S = 16 P = 55
Les diviseurs de 55 sont: 1, 5, 11, 55.

Seuls ces nombres peuvent intervenir dans la somme.

On devine rapidement qu'il s'agit de 5 et 11.

Voir Identités remarquables

Approche – Exemple 1

haut

On connait la somme de k nombres et leur produit.

Déterminer ces nombres.

Exemple

Somme S = 11

Produit P = 30

Deux solutions: 5 + 6 et 1 + 2 + 3 + 5

Les diviseurs du nombre-produit sont les seuls termes possibles de l'addition.

Les sommes ne peuvent être construites qu'avec certains de ces nombres.

On note que choisir le 1 dans la somme ne change pas le produit.

Facteurs

30 = 1 × 2 × 3 × 5

Diviseurs

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Quelles sont les partitions possibles utilisant certains des diviseurs.

Cinq sommes sont possibles, mais deux seulement arrivent au produit demandé (en rose).

Solutions

S = 11 = 10 + 1             P = 10
= 6 + 5                P = 30
= 6 + 3 + 2          P = 36
= 5 + 3 + 2 + 1    P = 30
= 5 + 3 + 1 + 1    P = 15
etc. avec des "1" multiples

Approche – Exemple 2		haut
Trouver les nombres tels que S = 20 et P = 300.	Diviseurs de 300 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300
Partitions de 20 Il existe 627 partitions du nombre 20. On ne teste que celles impliquant les nombres inférieurs à 20: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15. Elles restent tout de même nombreuses. Après investigations, il n'en reste que quatre recevables. On peut restreindre la recherche à des nombres distincts, auquel cas, il n'y en a qu'une seule solution: 20 = 10 + 5 + 3 + 2 dont le produit est 300.	Partition avec les diviseurs 20 = 15 + 5 = 15 + 4 + 1 … = 10 + 5 + 3 + 2 = 6 + 5 + 5 + 2 + 1 + 1 = 5 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 + 1 = 5 + 5 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1

Solution ?		haut
Pas toujours de solutions Disons- le tout de suite: il n'y a pas toujours de solutions. C'est même rarement le cas. Avec le produit P = 30, seuls sept nombres de 1 à 30 ont des solutions avec nombres distincts, dont deux pour le nombre 11 (voir tableau). Notez que P doit être un nombre composé. Sinon, la somme est automatiquement ce nombre. Choix des diviseurs à ajouter On observe que le choix des diviseurs pour réaliser la somme se fait par couples avec symétrie, comme le montre ce tableau pour P = 30: Cette observation est très utile pour limiter le champ des recherches.	Seules solutions pour S de 1 à 30 Produit P = 30 S = 10: 2, 3, 5 11: 5, 6 11: 1, 2, 3, 5 12: 1, 5, 6 13: 3, 10 14: 1, 3, 10 17: 2, 15 18: 1, 2, 15
Exemple de recherche On cherche la solution de S = 20 et P = 50 Duplication autorisée. Ici les deux solutions possibles comportent respectivement cinq et huit fois le nombre 1. On comprend que cette possibilité de duplication soit bannie !	Solutions avec de nombreux 1 Produit P = 50 Somme S = 20: Deux solutions 1, …1₅ , 5, 10 1, …1₈ , 2, 5 , 5

Tableau de toutes des possibilités pour S de 1 à 25 et P de 20 à 40

P = 300 –Toutes les sommes possibles

haut

Sur la ligne du haut (bleue), les seize diviseurs propres de 300 (sans 1 et 300).

Chaque ligne correspond à un choix de diviseurs dont le produit est 300.

Ces lignes ont été triées par sommes décroissantes.

Les lignes jaunes correspondent à un produit de deux facteurs; les blanches à la factorisation du diviseur indiqué par la flèche: Ainsi 6 × 50 devient 2 × 3 × 50.

Notez

Seule la somme 37 apparait deux fois: 12 + 25 = 2 + 5 + 30.

Les sommes (S + 1) sont aussi des solutions. En effet, en ajoutant 1, le produit reste le même.
Exemple: de la solution pour 152, on déduit celle pour 153: 153 = 1 + 2 + 150 et P = 1 × 2 × 150.

Bilan

La solution pour S et P donnés au hasard est rare.

Lorsqu'elle existe, elle est souvent unique.

Pour trouver la solution, on réalise la somme deux à deux des diviseurs donnant le produit et on poursuit en factorisant les diviseurs composés. On évite de compter les doublons. L'aide d'un tableur est appréciable.

Exemple de recherche

haut

Trouver les nombres tels que:

S = 304 et
P = 311 190.

Diviseurs de 311 190

Ce nombre est divisible par 10 = 2 × 5.

Il est divisible par 3: (3+1+1+1+9) et 31119/3 = 10373

Ce nombre est divisible par 11: (1+3+3 = 0+7) et 10373 = 943

Les critères de divisibilité ne donnent plus rien.
Les facteurs sont supérieurs à 11.
On essaie 13, 19, 23 et avec 23 c'est bon: 943 = 23 x 41

Soit la factorisation: 311 190 = 2 × 3 × 5 × 11 × 23 × 41

Somme

La somme vaut: 2 + 3 + 5 + 11 + 23 + 41 = 85.
Il faut utiliser des diviseurs plus grands pour atteindre 304.

Quelques essais permettent de trouver: 2 + 3 + 5 + 11 x 23 + 41 = 304

Solution

Les nombres sont alors: 2, 3, 5, 253, 41.

Merci à Jérôme Rampon pour l'idée de cette page

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