NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/01/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Divisibilité par a^2 + b^2
Affirmation La somme (a carré plus b carré) divise la différence indiquée en puissance 4. Démonstration par induction	(a² + b²) | (a^4n – b^4n)
Pour n =1, c'est vrai.	a^4 – b^4 = (a² + b²) (a² – b²)
Calculons la formule pour n + 1	a^4n+4 – b^4n+4 = a^4n+4 – a^4b^4n + a^4b^4n – b^4n+4 = a^4 (a^4n – b^4n) + b^4n (a^4 – b^4)
Si la proposition est vraie pour n, alors le premier terme est divisible par a² + b². Le deuxième terme est lui aussi divisible. Alors, la somme complète est divisible par a² + b². Selon le raisonnement par récurrence: Vraie pour n = 1 et vraie pour toute valeur suivante, l'affirmation est toujours vraie quel que soit n.	a² + b² | { a^4 (a^4n – b^4n) + b^4n (a^4 – b^4) } a² + b² | { a^4n^+4 – b^4n+4 }

Voir Identités remarquables

Exemples

a² + b² | { a⁴ⁿ – b⁴ⁿ }

2² + 1² | { 2^4x3 – 1^4x3} = 4 096 – 1= 4 095 divisible par 5

3² + 1² | { 3^4x3 – 1^4x3} = 531 441 – 1= 531 440 divisible par 10

3² + 2² | { 3^4x3 – 2^4x3} = 531 441 – 4 096= 527 345 divisible par 13

Suite	Somme A^n + B^n
Voir	Divisibilité – Index Somme de puissances Diviseurs Nombres consécutifs Formes polynomiales divisibles
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