NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 6 x 6

 

Glossaire

Carrés

magiques

3x3

2x2

5x5

6x6

7x7

8x8

9x9

10x10

11x11

12x12

13x13

14x14

15x15

16x16

17x17

18x18

19x 19

20x20

 

 

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Carré 6 x 6

CM 6x6 via 3x3

Premiers

Devinette

Gigogne

 

Sommaire de cette page

>>> Méthode à partir du carré 3x3

>>> Un carré magique 3x3

>>> Un carré initial 6x6 – Presque magique

>>> Deux solutions 6x6 avec seulement deux permutations

>>> Méthodes matricielles

>>> Programmation

 

 

 

 

CARRÉS MAGIQUES 6x6

Construction à partir du 3x3

 

Comment profiter de la construction d'un carré magique 3x3 (ordre impair, réputé simple à construire) pour façonner un carré 6x6 (ordre pair, généralement plus compliqué à construire).

 

Voir de suite les quatre solutions à deux permutations >>>

Cette méthode peut aussi s'interpréter comme une addition de matrices >>>

Anglais: Construct a 6x6 Magic Square with a 3x3 Magic Square

 

Un carré magique 3x3

Le carré 3x3 est construit dans un canevas de 6x6.

On retrouve la méthode classique de construction:

*      montée en diagonale et enroulement au delà des bordures

*    descente d'un cran aux multiples de 3.

 

Un carré initial 6x6 – Presque magique

Le carré 3x3 initial est répété quatre fois avec les nombres de 1 à 36, "enroulés" sur l'ensemble du carré

 

La somme magique vaut:

 

Cette construction simple s'approche de la solution. On constate: 

*      écart alterné de 54 sur les lignes;

*      écart alterné de 27 sur les colonnes; et

*    sommes correctes sur les diagonales.

 

Chaque zone 2x2 est complétée par trois nombres augmentés de 9.

 

En bleu la somme des lignes, colonnes et diagonales.
À côté, les écarts par rapport à la somme magique.

 

Idée ?

Permuter les nombres dans les zones 2x2.

 

On se dit que la solution est à portée de main. Pas si sûr ! Une simple permutation générale dans les zones 2x2 ne parvient pas à combler les écarts. Il faut procéder à des permutations sélectives.

 

 

Deux solutions 6x6 avec seulement deux permutations

 

L'astuce de construction

Voici deux permutations d'une zone 2x2 avec l'originale en blanc. On a indiqué les écarts.

En prenant les nombres en ordre croissant:

*      en bleu, une disposition en U inversé; et

*      en marron, une disposition en croix.

 

Les nombres latéraux en rouge indiquent quelle est la variation par rapport à la zone originale, en ligne comme en colonne.

Par exemple, en optant pour une disposition en U (bleu), on modifie les lignes de 18, les colonnes de 27 et les diagonales de 9.

 

Reste à réfléchir à un jeu de "pesée" pour combler les écarts.

Il s'agit de sélectionner les écarts pour atteindre les différences en ligne et en colonne du carré magique complet.

 

 

Les deux permutations utilisées

 

 

Deux seules solutions

En fait, deux solutions symétriques par rapport à un axe horizontal.

 

Présence de trois U qui atteignent l'écart  27, nécessaire en colonne.

Les trois permutations, l'une ou l'autre, engendrent 3 x 18 = 54 qui comble l'écart sur les lignes

Reste à neutraliser les diagonales avec deux U (2 x 9) et un X (18).

 

 

 

 

Variantes

Au lieu d'enrouler les nombres quatre fois sur le carré complet, on peut aussi les enrouler dans le carré 2x2.

Avec les mêmes permutations, on obtient deux nouveaux carrés magiques.

 

Autres solutions

 

En profitant des 24 permutations des quatre nombres des carrés 2x2, il est possible de trouver des milliers de carrés magiques 6x6.

J'ai stoppé l'exploration à 4 000 réponses alors que le programme en était toujours à la même première ligne.

  Avec les permutations du carré 3x3 d'origine, on multiplie encore la quantité de solutions.

 

Voir Méthode appliquée à la création du carré 10x10

 

 

Méthodes matricielles

Principe de construction

La méthode par doublement peut s'interpréter comme une addition de carrés (matrices):

*    Le premier tableau est le carré 3x3 quadruplé;

*    Le deuxième reflète les permutations utilisées comme indiqué par nos traits fléchés et traduit en nombre (0, 1, 2 et 3); et

*    Le troisième est la somme du premier et neuf fois le deuxième.

 

Un exemple de permutations qui marchent

 

 

"CM 3x3" + 9 (tableau de permutations) = "CM 6x6"

Exemples de calcul: 8 + 9 x 0 = 8; 8 + 9 x 2 = 26; 1 + 9 x 0 = 1; 1 + 9 x 2 = 19; etc.

 

 

 

Méthode matricielle par copies du carré moitié

*    Le premier tableau est constitué du carré magique 3x3 copié quatre fois;

*    Le deuxième est composé des coefficients multiplicateur 0, 1, 2 et 3, disposés judicieusement; et

*    Le troisième est la somme du premier et neuf fois le deuxième.

 

Le tableau intermédiaire est constitué d'un carré en 1, d'un carré en 2 et de deux carrés panachés en 0 et 3.

Avec ces derniers, on veille à satisfaire la somme en diagonale, puis les sommes en lignes et en colonnes.

 

 

Méthode matricielle équivalente

*    Le premier tableau est constitué du carré magique 3x3 copié quatre fois;

*    Le deuxième est composé des coefficients multiplicateur 0, 1, 2 et 3 par quadrant; et

*    Le troisième est la somme du premier et neuf fois le deuxième.

*    Le quatrième et identique à trois permutations près

 

Le tableau final est identique au précédent, sauf les nombres en bleu qui sont intervertis.

Comment les choisir ?

On commence par rétablir les diagonales en intervertissant deux fois des nombres ayant une différence de 27.

Avec les seules possibilités pour les diagonales, il se trouve que les sommes en ligne sont aussi satisfaites.

Ce carré magique est identique au précédent.

 

 

 

Permutations utilisées: carrés magiques et diagrammes des permutations

La ligne fléchée indique le sens croissant des nombres dans un carré 2x2

 

Florilège (à gauche, le rang selon les permutations utilisées

 

 

 

Programmation Maple

 

 

Commentaires

Appel de logiciels de calcul matriciel (Array) et de calcul combinatoire.

Liste (eij) des nombres dans chaque carré 2x2 et calcul des permutations (Eij).

 

Boucles d'analyse des permutations successives et formation de la matrice 2x2 des nombres permutés (aij).

Pour accélérer la recherche, on teste les deux premières lignes formées par f, g et h.

On forme la matrice A en concaténant les trois premières matrices 2x2. On obtient une matrice 2x6.

SL est la liste des sommes des lignes. Si les deux valent la somme magique 111, on poursuit l'exploration.

Même procédé pour les deux lignes suivantes. On teste les lignes 3 et 4 et on poursuit si elles valent 111.

Après formation des deux dernières lignes avec les trois boucles en l, m et n, on forme la matrice complète A.

On forme l'ensemble (set) des sommes en ligne et en colonne. Si les nombres sont identiques, l'ensemble ne comporte que ce nombre unique (nops () = 1).

On calcule la somme sur chaque diagonale (SD1 et SD2).

Si ces sommes sont 111, on édite la matrice et son numéro (kt).

Les deux prières réponses du programme:

Voir ProgrammationIndex

 

   

Suite

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