base de l'algèbre: multiplication

PRODUITS SIMPLES
Multiplier	a b
Les objets se multiplient en les plaçant l'un à côté de l'autre (s'il y a confusion, on place un point). Voir Symboles de la multiplication	a x b = ab = a.b
Multiplier	3 a 2 b
Chaque objet amène son coefficient et ils se multiplient entre eux.	3 x 2 ab = 6 ab
Multiplier	3 a 2 a
Le même objet multiplié par lui-même donne un carré. On note avec un exposant "carré" ou "puissance 2".	6 aa = 6 a²
Multiplier	3 a² 2 a
On note en exposant (petit chiffre en haut à droite) la quantité de a multipliée entre eux.	6 aaa = 6 a³
Multiplier	3 a 2 abc
Les objets se combinent selon les règles données ci-dessus.	6 a²bc
Multiplier	3 a³b²c 2 a²b²c³
Les objets se combinent selon les règles données ci-dessus: Les coefficients se multiplient. Les exposants s'ajoutent.	6 a⁵b⁴c⁴

PRODUIT avec ADDITION
Multiplier	a b + c
a multiplie chaque objet de la parenthèse.	a (b + c) = ab + ac
Multiplier	3a b + c
Le coefficient 3 s'applique à chaque objet.	3a (b + c) = 3ab + 3ac
Multiplier	3a 2b + 5c
Les coefficients se multiplient.	3a (2b + 5c) = 6ab + 15ac
Multiplier	3ax 2by + 5cxyz
Même si l'objet est complexe, les lettres se combinent.	3ax (2by + 5cxyz) = 6abxy + 15acx²yz

Analogie avec l'écriture factorisée

Comparaison qui aide à faire comprendre la factorisation (la mise entre parenthèses).
Une simple histoire d'écriture raccourcie! D'économie en écriture.

Voir Triangle

Multiplier ADDITION et ADDITION Développement d'une expression entre parenthèses
Multiplier	a + b c + d
Décomposons:	(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd
Il s'agit de toutes les multiplications possibles avec les 4 termes.	(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
Multiplier	2a + 3b 4c + 5d
Les coefficients se multiplient aussi.	(2a + 3b) (4c + 5d) = 8ac + 10ad + 12bc + 15bd
Multiplier	2ax + 3by 4cx + 5dz
Les lettres subissent le même sort.	(2ax + 3by) (4cx + 5dz) = 8acx² + 10adxz + 12bcxy + 15bdyz

Voir Génotypes et leurs développements

FACTORISATION
Factoriser	ab + ac
Parmi les deux termes présentés, a est un facteur commun. Rappel du vocabulaire ab et ac sont les deux termes de la somme a et b sont les deux facteurs du produit ab. Remarquez que vous savez déjà faire l'opération dans l'autre sens; celle-ci n'est pas plus difficile.	ab + ac = a (b + c)
Factoriser	a + ac
Se souvenir que le coefficient 1 devant a est sous-entendu.	a + ac = 1a + ac = a (1 + c)
Factoriser	6ab + 4ac
Les coefficients se factorisent aussi. Il s'agit de trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) des coefficients.	6ab + 4ac = 2x3 ab + 2x2 ac = 2a (3b + 2c)
Factoriser	acx² + adxz + bcxy + bdyz
Pas facile! On remarque a et x en commun dans les deux premier termes. Et by dans les 2 derniers.	acx² + adxz + bcxy + bdyz = ax (cx + dz) + by (cx + dz)
Surprise! Le même facteur entre parenthèses. On le nomme F. Cette fois-ci, c'est F qui apparaît comme facteur commun. Remplaçons F par sa valeur.	= ax F + by F = ( ax + by ) F = ( ax + by ) ( cx + dz )

Exemple avec présentation détaillée
Factoriser	F =	(b – 1) x b + (b – 1) x 1
Résultat	F =	(b – 1) (b + 1)
Question classique du débutant: Pourquoi dans les deux premières parenthèses on a des "–" et dans les deuxièmes parenthèses un "–" et un "+" ?
1) Réponse directe	F =	(b – 1) x b + (b – 1) x 1
Addition de deux termes		(b – 1) x b & (b – 1) x 1
Élément commun		(b – 1) x b & (b – 1) x 1
Mise en facteur de cet élément commun		(b – 1) x (b + 1)
Résultat	F =	(b – 1) (b + 1)
2) Réponse imagée	F =	(b – 1) x b + (b – 1) x 1
Pour ne pas être impressionné (gêné), je baptise l'élément commun		b – 1 = C
	F =	C x b + C x 1
Imaginons que C soit des bonbons	F =	J'ai b bonbons et 1 de plus
Je dispose en tout de	F =	(b + 1) bonbons
Refaisons le chemin à l'envers	F =	(b + 1) C
	F =	(b + 1) (b – 1)
3) Autre chemin	F =	(b – 1) x b + (b – 1) x 1
Développons cette expression		b x b – b x 1 + 1 x b – 1 x 1
		b² – b + b – 1
	F =	b² – 1
Identité remarquable (a² – b² = (a – b) (a + b)	F =	(b – 1) (b + 1)