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Théorème des valeurs intermédiaires & Théorème de Rolle Deux théorèmes qui énoncent
un constat évident. Pas si sûr! Propriétés très pratiques
dans certaines démonstrations. |
Anglais: Intermediate value theorem
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Exemples dans la vie courante Si je
monte du rez-de-chaussée au quatrième étage, je passe forcément par le
quatrième étage. Un avion
décolle de Paris pour New York et prend sont altitude de croisière à 10 000
mètres. Il passera surement par l'altitude 9 000 m. Cet
hivers la température est descendue à -10°C, mais nous avons un pic à 39°C en
été. Un jour ou l'autre (ou plusieurs) la température est passé par 0°C. Aujourd'hui,
je dispose de 320 euros alors que la semaine dernière je n'avais que 20 euros
en poche. Il existe un moment (même très bref) où j'ai eu 100 euros. Cet exemple montre la limite de la comparaison. Car, si j'ai retiré
300 euros au distributeur, je suis passé de 20 à 320 dès que les billets sont
sortis de la machine. Nous verrons que notre théorème ne marche que s'il n'y
a pas de sauts pour passer d'une valeur à l'autre. Exemples en mathématiques Une
fonction continue f(x) part de l'origine et atteint le point (5, 3). Cette
fonction qui évolue de 0 à 3, passera forcément par la valeur 2. C'est le cas
pour x = 4 (figure du haut). Les
points de rencontre peuvent être multiples. Fonction continue: pas de sauts dans la courbe. On peut la dessiner
sans lever le crayon. Plus précisément: une petite variation (infinitésimale)
sur x entraine une petite variation sur y = (fx). |
Exemple géométrique (voir
la figure) Si deux points A et B d'une courbe continue sont de part et d'autre
d'une droite, la droite et la courbe se croisent au moins une fois. La fonction f qui va de 0 à 3 passe au moins une fois par la valeur 2. Quelle que soit la trajectoire suivie. |
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Formalisation Une fonction f sur les nombres réels, La
réciproque n'est pas vraie >>> |
Quel que soit y appartenant à l'ensemble des nombre réels et y compris
entre f(a et f(b), alors il existe un nombre réel x
tel x est compris entre a et b et y est l'image de x par la fonction f. |
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Montrer
que pour cette équation, il existe une racine entre x= 0 et x = 2. |
x4 + x2 – 6 = 0 |
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Pour x = 0 Pour x = 2 |
y = – 6 y = 16 + 4 – 6 = 14 |
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Théorème
des valeurs intermédiaires |
Il existe effectivement une valeur de x pour y =
0 compris entre -6 et 14. |
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Le graphe de cette fonction montre bien une racine (y = 0) vers x = 1,4. C'est
même le principe de la recherche par dichotomie (fourchette de plus en plus
fine). Ici, on peut resserrer l'intervalle de 1 à 2 x= 1 => y = - 4. La racine est entre x = 1 et x= 2. |
Graphe de la fonction x4 + x2
– 6 = 0 Le polynôme peut se factoriser de la manière
suivante: P = (x² + 3)(x² – 2) L'une des racines est Les trois autres sont - |
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Cas de P = x5 –3x3 –x2
+ 3. Est-ce qu'il existe une racine entre x = 0
et y = 2 x = 0 => P = 3 P passe de 3 à 7 sans passer par 0. Il n'y pas de
racine entre x= 0 et x = 2! FAUX, comme le montre le graphe. |
P = x5 –3x3
–x2 + 3 = (x3 – 1) (x2 – 3) Deux des cinq racines: 1 et |
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Devinette classique en montagne
Une course en montage entre A et B. Départ de A 4h du matin,
Curiosité: est-il possible que nous passions au même endroit
à la même heure à un jour d'intervalle? Oui! Mais comment le démontrer? Imaginons les points M et N au même instant (à un jour
d'intervalle) sur le trajet aller et sur le trajet retour. La distance
algébrique entre les M et N est appelée e. Elle est fonction du temps. Au départ: t = 4 h
=> e = D (distance entre A et B). À l'arrivée: t = 11 h => e = - D (distance entre B et A). Théorème des valeurs intermédiaires: il existe une valeur t
pour laquelle l'écart est nul (la fonction e est progresse continument de D à
–D; nous ne reculons jamais). |
Voir Autre explication (plus intuitive)
avec les frères jumeaux
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Ce
théorème est le cousin du précédent. Tout aussi évident, mais tout aussi
utile. Il dit
que: si je lance une balle en l'air et qu'elle retombe au niveau d'où elle
est partie, elle est forcément passée par un maximum d'altitude. Prenons une fonction continue sur un segment [A,B)]
et dérivable sur ce segment, si f(A) = f(B) alors la courbe présente au moins
un extremum E (minimum ou maximum) entre A et B. La dérivée en ce (ces)
point(s) d'extremum est nulle. Note: une version du théorème de Rolle dans le monde des complexes à été prouvé en 1992
par J.-Cl. Ecard et F. Jafari. |
Si A et B ont même ordonnée, il existe un extremum entre A et B. |
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Mathématicien
français, connu pour le théorème énoncé ci-dessus. Il est l'inventeur de la
notation de la racine énième: Son
père était cordonnier. Après l'école primaire, il est autodidacte. En 1675
(23 ans), Rolle va à Paris comme scribe et expert en calculs. Il a du mal à
supporter sa vie de famille. Il cherche le moyen d'augmenter ses revenus. En
1682, il résout le problème
des quatre nombres proposé par Jacques Ozanam dans le Journal des
savants. Ozanam pensait le problème insoluble car nécessitant des nombres de
plus de 50 chiffres. Rolle trouve la solution avec des nombres à sept
chiffres. La
solution n'est pas simple. Rolle y gagne une certaine réputation. Colbert, le
ministre de Louis XIV, octroie une pension à ce brillant mathématicien. Il
devient également le précepteur du fils du marquis de Louvois, ministre de la
défense. Il
est élu à l'Académie des sciences en 1685. Il
travaille sur les équations diophantiennes. Il publie son Traité d'algèbre en 1690.
Il y introduit la notation des racines. Puis, Démonstration d'une méthode
pour résoudre les égalités de tous les degrés
en 1691. Le
théorème de Rolle fut nommé ainsi en 1846 par Giusto
Bellavitis. |
Voir Contemporains
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