NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Théorème des valeurs intermédiaires

>>> Exemples d'application

>>> Devinette en montagne

>>> Théorème de Rolle

>>> Devinette sur les impôts

>>> Michel Rolle – Biographie

 

 

 

 

 

Théorème des valeurs intermédiaires

& Théorème de Rolle

 

Deux théorèmes qui énoncent un constat évident. Pas si sûr!

Propriétés très pratiques dans certaines démonstrations.

Anglais: Intermediate value theorem

 

 

 

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

 

Exemples dans la vie courante

 

Si je monte du rez-de-chaussée au quatrième étage, je passe forcément par le quatrième étage.

 

Un avion décolle de Paris pour New York et prend sont altitude de croisière à 10 000 mètres. Il passera surement par l'altitude 9 000 m.

 

Cet hivers la température est descendue à -10°C, mais nous avons un pic à 39°C en été. Un jour ou l'autre (ou plusieurs) la température est passé par 0°C.

 

Aujourd'hui, je dispose de 320 euros alors que la semaine dernière je n'avais que 20 euros en poche. Il existe un moment (même très bref) où j'ai eu 100 euros.

Cet exemple montre la limite de la comparaison. Car, si j'ai retiré 300 euros au distributeur, je suis passé de 20 à 320 dès que les billets sont sortis de la machine. Nous verrons que notre théorème ne marche que s'il n'y a pas de sauts pour passer d'une valeur à l'autre.

 

Exemples en mathématiques

 

 

Une fonction continue f(x) part de l'origine et atteint le point (5, 3). Cette fonction qui évolue de 0 à 3, passera forcément par la valeur 2. C'est le cas pour x = 4 (figure du haut).

Les points de rencontre peuvent être multiples.

 

Fonction continue: pas de sauts dans la courbe. On peut la dessiner sans lever le crayon. Plus précisément: une petite variation (infinitésimale) sur x entraine une petite variation sur y = (fx).

 

Exemple géométrique (voir la figure)

Si deux points A et B d'une courbe continue sont de part et d'autre d'une droite, la droite et la courbe se croisent au moins une fois.

 

 

La fonction f qui va de 0 à 3 passe au moins une fois par la valeur 2.

Quelle que soit la trajectoire suivie.

Formalisation

 

Une fonction f sur les nombres réels,
continue sur une segment [a, b], prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b).

 

La réciproque n'est pas vraie >>>

 

 

Quel que soit y appartenant à l'ensemble des nombre réels et y compris entre f(a et f(b), alors il existe un nombre réel x tel x est compris entre a et b et y est l'image de x par la fonction f.

 

 

 

 

Application – Exemples

 

Montrer que pour cette équation, il existe une racine entre x= 0 et x = 2.

 

x4 + x2 – 6 = 0

Pour x = 0

Pour x = 2

y = – 6

y = 16 + 4 – 6 = 14

Théorème des valeurs intermédiaires

 

Il existe effectivement une valeur de x pour y = 0 compris entre -6 et 14.

 

 

Le graphe de cette fonction montre bien une racine  (y = 0) vers x = 1,4.

 

C'est même le principe de la recherche par dichotomie (fourchette de plus en plus fine).

Ici, on peut resserrer l'intervalle de 1 à 2

x= 1 => y = - 4. La racine est entre x = 1 et x= 2.
Le tableau montre la suite des valeurs choisie pour cerner la racine

 

 

Graphe de la fonction x4 + x2 – 6 = 0

 

Le polynôme peut se factoriser de la manière suivante:

P = (x² + 3)(x² – 2)

L'une des racines est  = 1, 4142…

Les trois autres sont -, i et –i.

 

Racines cachées

 

Cas de P = x5 –3x3 –x2 + 3.

Est-ce qu'il existe une racine entre x = 0 et  y = 2

x = 0 => P = 3
x = 2 => P = 32-3x8-4+3 = 7

P passe de 3 à 7 sans passer par 0. Il n'y pas de racine entre x= 0 et x = 2!

 

FAUX, comme le montre le graphe.

 

P = x5 –3x3 –x2 + 3 = (x3 – 1) (x2 – 3)

Deux des cinq racines: 1 et  = 1,732…

 

 

 

Devinette classique en montagne

Une course en montage entre A et B. Départ de A 4h du matin, arrivée à B à 11 h avant les orages de l'après-midi. Nuit au refuge. Départ de B à 4h du matin et arrivée à A à 11 heures.

Curiosité: est-il possible que nous passions au même endroit à la même heure à un jour d'intervalle?

Oui! Mais comment le démontrer?

Imaginons les points M et N au même instant (à un jour d'intervalle) sur le trajet aller et sur le trajet retour. La distance algébrique entre les M et N est appelée e. Elle est fonction du temps.

Au départ: t = 4 h  => e = D (distance entre A et B).

À l'arrivée: t = 11 h => e = - D (distance entre B et A).

Théorème des valeurs intermédiaires: il existe une valeur t pour laquelle l'écart est nul (la fonction e est progresse continument de D à –D; nous ne reculons jamais).

Voir Autre explication (plus intuitive) avec les frères jumeaux

 

 

 

Théorème (ou lemme) de Rolle

 

Ce théorème est le cousin du précédent. Tout aussi évident, mais tout aussi utile.

 

Il dit que: si je lance une balle en l'air et qu'elle retombe au niveau d'où elle est partie, elle est forcément passée par un maximum d'altitude.

 

Prenons une fonction continue sur un segment [A,B)] et dérivable sur ce segment, si f(A) = f(B) alors la courbe présente au moins un extremum E (minimum ou maximum) entre A et B. La dérivée en ce (ces) point(s) d'extremum est nulle.

 

 

Note: une version du théorème de Rolle dans le monde des complexes à été prouvé en 1992 par J.-Cl. Ecard et F. Jafari.

 

Si A et B ont même ordonnée, il existe un extremum entre A et B.

 

 

 

Devinette sur les impôts

*    Avec un taux d'imposition de 0%, l'État ne collecte aucun argent.

*    Un taux de 100% est confiscatoire et personne ne travaille pour rien.

*    Entre les deux, il existe un taux d'imposition qui rapporte le maximum possible pour l'État. Le théorème de Rolle l'affirme, mais il ne dit pas quel est le taux optimal.

 

 

Michel Rolle (1652-1719)

Mathématicien français, connu pour le théorème énoncé ci-dessus. Il est l'inventeur de la notation de la racine énième: .

Son père était cordonnier. Après l'école primaire, il est autodidacte. En 1675 (23 ans), Rolle va à Paris comme scribe et expert en calculs. Il a du mal à supporter sa vie de famille. Il cherche le moyen d'augmenter ses revenus. En 1682, il résout le problème des quatre nombres proposé par Jacques Ozanam dans le Journal des savants. Ozanam pensait le problème insoluble car nécessitant des nombres de plus de 50 chiffres. Rolle trouve la solution avec des nombres à sept chiffres.

La solution n'est pas simple. Rolle y gagne une certaine réputation. Colbert, le ministre de Louis XIV, octroie une pension à ce brillant mathématicien. Il devient également le précepteur du fils du marquis de Louvois, ministre de la défense.

Il est élu à l'Académie des sciences en 1685.

Il travaille sur les équations diophantiennes. Il publie son Traité d'algèbre en 1690. Il y introduit la notation des racines. Puis, Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés  en 1691.

Le théorème de Rolle fut nommé ainsi en 1846 par Giusto Bellavitis.

Voir Contemporains

 

 

 

 

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