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TRISECTION du SEGMENT
Comment couper un segment en trois parties égales
avec pour seuls instruments la règle
et le compas? Il existe tellement de méthodes que beaucoup ne sont même
plus répertoriées. Par contre, le challenge consiste à trouver la méthode la
plus optimale; le record de la moindre
quantité de tracés. Une majorité des méthodes sont basées sur la
construction par triangles équilatéraux. Explications et démonstrations. |
Méthodes les plus classiques (les plus
scolaires)
Avec constructions
auxiliaires simples comme des parallèles ou des perpendiculaires
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Cette
méthode est courante et facile à comprendre. Elle est
gourmande en quantité de tracés. Elle
nécessite notamment la construction
de lignes parallèles. Légende: la construction
d'un cercle est notée par le couple (O, OA) donnant
le centre O et le rayon OA. |
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Démonstration |
Par construction: AC = CD = DE Théorème
de Thalès: les parallèles CT, DT' et EB partagent la droite AB dans les mêmes proportions. |
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Variante La direction de la droite AC
est quelconque, de même que la longueur AB. |
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Note pour
la suite: les
figures montrent la construction du premier point de trisection du segment.
Le
second est construit de la même manière ou par simple construction du point milieu.
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Exemple
d'une construction gourmande car, outre les indications en cinq points, deux
d'entre elles renvoient à des constructions
classiques. |
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Démonstration |
Par construction: AC = MB = MC. AD = 2AC =
3AB = 3AE. L'angle AED, inscrit dans un demi-cercle, est un
angle droit. Les triangles ATE et
AED sont semblables:
AD = 3 AE => AE = 3AT |
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Méthode
de construction rapide. Démonstration Le point
A est le milieu de CD; AB est une médiane du triangle BCD. Le point
F est le milieu de BD; CF est une autre médiane du
triangle BCD. Le point
T d'intersection des médianes est situé au 1/3 du segment médian AB. Note: T est le centre
de gravité du triangle BCD. |
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Voir Construction géométrique des nombres
– Cas de 1/3
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Méthode
de construction visuellement parlante. Le rapport 1/3 est facile à
identifier. Démonstration Par
construction: Les
triangles CEF et CAT sont semblables et
homothétiques dans un rapport 3.
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La
théorie
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Constructions muettes Sur ces
deux figures, les points T et T' partagent le segment AB en trois parties
égales. On
construit des triangles
équilatéraux sur le segment AB:
Démonstration muette (indications
en mauve – les nombres donnent la longueur cumulée)
Cette
figure explique le choix de F3 pour opérer la trisection du
segment AB. Même
chose pour F1 car les diagonales du parallélogramme se coupent en
leur milieu. Remarquez
que, compte tenu de la symétrie des trois étages de triangles, F3F'3 = 3TT' >>> Une
grande majorité des constructions à la règle et au compas consiste à obtenir
les points F (1, 2 ou 3) d'une manière ou d'une autre. Le point
F2 est situé sur la droite verte avec BF2 = 1 (démo ci-dessous). |
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Voir Théorème de Thalès
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Coordonnées des points
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Recherche des coordonnées des
points d'intersection
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Recherche de la quantité minimale de tracés
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Sans
doute la construction la plus économe. Notez que
les deux premiers cercles construisent
le triangle équilatéral ABC. Construction
pas facile à trouver du fait que le point F2 n'est pas banal. |
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Point F
différent de celui de la figure précédente. Figure
épurée et complétée qui vaut démonstration.
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Construction
qui commence comme la méthode des cercles et parallèles, mais plus directe
par le tracé FB Figure
épurée et complétée qui vaut démonstration.
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Construction
originale ne mettant en jeu que le
compas. Elle
repose sur le rapport 1/6 Démonstration (figure du bas) La
démonstration nécessite le tracé de quelques lignes supplémentaires.
Notamment le triangle AED qui a
un angle droit en E. |
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Cette
méthode n'est pas la plus économe, mais elle présente l'avantage d'une
construction et d'une démonstration visuelles quasi-immédiates. Construction Elle consiste à reprendre la démonstration muette
indiquée ci-dessus et à expliciter la construction des
triangles équilatéraux:
Démonstration (figure du bas) Cette démonstration explicite la démonstration
muette vue ci-dessus. Par construction, le triangle ABC est équilatéral
avec un côté de longueur a. Avec les plus petits cercles, on construit
également de triangles équilatéraux de
côté a/2 (en vert sur la figure du bas). De sorte que la hauteur du triangle ABC est
partagées en deux (h + h) et prolongée d'une longueur h. Dans le triangle isocèle rouge et sa hauteur:
Sur AB, les segments AT
et T'B sont symétriques de longueur x avec: a = 2x
+ y = 2x + a/3 x = a / 3 |
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Merci à Éric Mardoc pour cette construction
Constructions particulières
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Avec
cette construction pour un triangle
quelconque et un point D quelconque sur AB, les médianes partagent le
segment PQ en trois segments de même longueur. Démonstration Propriété de la médiane: MG = MB
/ 3 Triangles semblables: AMG et APE: PE = PD
/ 3 Triangles semblables: PDQ
et PET: PT = PQ
/ 3 |
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