NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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CONSTRUCTIONS

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Constructions élémentaires

 

Constructions

 

Géométrie

 

Constructible

Bissection

Trisection

 

Sommaire de cette page

Méthodes faisant intervenir des constructions auxiliaires

>>> La méthode des parallèles

>>> La méthode de la perpendiculaire

>>> La méthode des médianes

>>> La méthode des cercles et parallèles

Théorie

>>> Méthodes muettes de trisection

>>> Démonstration muette

>>> Démonstration analytique

Méthodes avec minimum de tracé

>>> 2 cercles et 3 droites

>>> 2 cercles et 4 droites

>>> 3 cercles et 2 droites

>>> 4 cercles

>>> 4 cercles et 3 droites

Curiosités

>>> Trisection dans le triangle quelconque

 

 

 

 

 

TRISECTION du SEGMENT

Comment couper un segment en trois parties égales avec pour seuls instruments la règle et le compas? Il existe tellement de méthodes que beaucoup ne sont même plus répertoriées. Par contre, le challenge consiste à trouver la méthode la plus optimale; le record  de la moindre quantité de tracés.

Une majorité des méthodes sont basées sur la construction par triangles équilatéraux. Explications et démonstrations.

 

 

Méthodes les plus classiques (les plus scolaires)

Avec constructions auxiliaires simples comme des parallèles ou des perpendiculaires

 

La méthode des parallèles

Cette méthode est courante et facile à comprendre.

Elle est gourmande en quantité de tracés.

Elle nécessite notamment la construction de lignes parallèles.

 

 

 

Légende: la construction d'un cercle est notée par le couple (O, OA) donnant le centre O et le rayon OA.

Démonstration

Par construction: AC = CD = DE

Théorème de Thalès: les parallèles CT, DT' et EB partagent la droite AB dans les mêmes proportions.

Variante

 

La  direction de la droite AC est quelconque, de même que la longueur AB.

 

 

 

Note pour la suite: les figures montrent la construction du premier point de trisection du segment.

Le second est construit de la même manière ou par simple construction du point milieu.

 

La méthode de la perpendiculaire

Exemple d'une construction gourmande car, outre les indications en cinq points, deux d'entre elles renvoient à des constructions classiques.

Démonstration

Par construction: AC = MB = MC.

AD  = 2AC = 3AB = 3AE.

L'angle AED, inscrit dans un demi-cercle, est un angle droit.

 

Les triangles ATE et AED sont semblables:

AD = 3 AE => AE = 3AT

 

 

La méthode des médianes

 

Méthode de construction rapide.

 

Démonstration

Le point A est le milieu de CD; AB est une médiane du triangle BCD.

Le point F est le milieu de BD; CF est une autre médiane du triangle BCD.

 

Le point T d'intersection des médianes est situé au 1/3 du segment médian AB.

 

Note: T est le centre de gravité du triangle BCD.

 

Voir Construction géométrique des nombres – Cas de 1/3

 

 

 

 

La méthode des cercles et parallèles

 

Méthode de construction visuellement parlante. Le rapport 1/3 est facile à identifier.

 

Démonstration

Par construction:
CA = AD = DE
CE = 3a

 

Les triangles CEF et CAT sont semblables et homothétiques dans un rapport 3.

 

 

 

 

La  théorie

 

Méthodes muettes de trisection

 

Constructions muettes

Sur ces deux figures, les points T et T' partagent le segment AB en trois parties égales.

On construit des triangles équilatéraux sur le segment AB:

 

*       Figure de gauche: 1 triangle équilatéral de côté AB et 2 de côté AB/2; et

*       Figure de droite: 4 triangles équilatéraux de côté AB et les diagonales des parallélogrammes.

 

 

 

 

Démonstration muette (indications en mauve – les nombres donnent la longueur cumulée)

 

Cette figure explique le choix de F3 pour opérer la trisection du segment AB.

Même chose pour F1 car les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu.

Remarquez que, compte tenu de la symétrie des trois étages de triangles,  F3F'3 = 3TT' >>>

Une grande majorité des constructions à la règle et au compas consiste à obtenir les points F (1, 2 ou 3) d'une manière ou d'une autre.

Le point F2 est situé sur la droite verte avec BF2 = 1 (démo ci-dessous).

Voir Théorème de Thalès

 

 

Démonstration analytique pour les points F2

 

Coordonnées des points

 

Recherche des coordonnées des points d'intersection

 

 

 

Recherche de la quantité minimale de tracés

 

2 cercles et 3 droites

 

 

 

Sans doute la construction la plus économe.

 

Notez que les deux premiers cercles construisent le triangle équilatéral ABC.

 

Construction pas facile à trouver du fait que le point F2 n'est pas banal.

 

 

2 cercles et 4 droites

 

Point F différent de celui de la figure précédente.

 

Figure épurée et complétée qui vaut démonstration.

 

 

3 cercles et 2 droites

 

 

Construction qui commence comme la méthode des cercles et parallèles, mais plus directe par le tracé FB

 

Figure épurée et complétée qui vaut démonstration.

 

 

4 cercles

 

Construction originale ne mettant en jeu  que le compas.

 

Elle repose sur le rapport 1/6

 

 

 

Démonstration (figure du bas)

 

La démonstration nécessite le tracé de quelques lignes supplémentaires. Notamment le triangle AED qui a un angle droit en E.

 

 

4 cercles et 3 droites

 

Cette méthode n'est pas la plus économe, mais elle présente l'avantage d'une construction et d'une démonstration visuelles quasi-immédiates.

 

Construction

Elle consiste à reprendre la démonstration muette indiquée ci-dessus et à expliciter la construction des triangles équilatéraux:

 

Démonstration (figure du bas)

Cette démonstration explicite la démonstration muette vue ci-dessus.

Par construction, le triangle ABC est équilatéral avec un côté de longueur a.

Avec les plus petits cercles, on construit également de triangles équilatéraux  de côté a/2 (en vert sur la figure du bas).

De sorte que la hauteur du triangle ABC est partagées en deux (h + h) et prolongée d'une longueur h.

Dans le triangle isocèle rouge et sa hauteur:

 

Sur AB, les segments AT et T'B sont symétriques de longueur x avec:

    a = 2x  + y = 2x + a/3

    x = a / 3

 

 

Merci à Éric Mardoc pour cette construction

 

 

 

Constructions particulières

 

Trisection dans le triangle quelconque

Avec cette construction pour un triangle quelconque et un point D quelconque sur AB, les médianes partagent le segment PQ en trois segments de même longueur.

 

Démonstration

 

Propriété de la médiane:

   MG = MB / 3

 

Triangles semblables: AMG et APE:

   PE = PD / 3

 

Triangles semblables: PDQ et PET:

   PT = PQ / 3

 

 

 

 

 

Suite

*       Bissection des triangles

*       Bissectrice

*       Trisection de l'angle

*       Trisection d'Abu’l-Waf'a

Voir

*       Allumettes

*       Construction de racine de 2

*       Centre du cercle

*       Pentagone ou étoile à cinq branches

Autres

*       Cycloïde

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