NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Géométrie

 

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Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Constructible

Bissection

Trisection

Bissection du triangle

 

Sommaire de cette page

>>> Bissection du segment – Médiatrice

>>> Bissection de l'angle – Bissectrice

>>> Bissection de l'angle – Avec allumettes

>>> Bissection du carré

>>> Carré et triangle

 

 

 

 

 

 

BISSECTION

 

Comment couper en deux parties égales un segment, un angle ?

 

 

Bissection du segment – Médiatrice

 

*    La construction de la médiatrice partage, par définition, le segment en deux segments égaux.

*      Cercle de rayon R en A,

*      Cercle de rayon R en B,

*      Intersection en M et N,

*      MN est la médiatrice,

*      AO = OB.

*      Et aussi: MO = ON.

 

 

Bissection de l'angle – Bissectrice

 

*    La construction de la bissectrice partage, par définition, l'angle en deux angles égaux.

*      Cercle de rayon R en 0,

*      Intersection en M et M',

*      Cercle de rayon R' en M,

*      Cercle de rayon R' en N,

*      AB est la bissectrice.
 

 

 

 

Bissection de l'angle – Avec allumettes

 

*    Bissection du segment AB avec des allumettes.

 

*    Chaque segment (hors AB) est une allumette, soit: 7 allumettes.

 

Théorème

T.R. Dawson, célèbre pour ses problèmes d'échecs, découvrit que:

 

Les constructions à la règle et au compas sont possibles si, et seulement si, elles le sont avec des allumettes  identiques.

 

 

 

 

Bissection du carré en carrés

 

Comment découper un carré pour en obtenir deux égaux à la moitié de l'original?

 

Voici deux solutions classiques.

 

La seconde rappelle une démonstration simpliste du théorème de Pythagore.

 

La première est optimale; elle ne comporte que quatre pièces.

 

 

 

 

 

 

Carré et triangle

haut

 

Problème

Un triangle rectangle ABC.

Un carré construit sur l'hypoténuse AC.

Son centre M.

Montrer que BM est la bissectrice de l'angle ABC.

 

 

 

Solution

Dessiner le centre circonscrit au triangle rectangle. Son hypoténuse AC est un diamètre.

L'angle en M, où se rencontrent les diagonales du carré, est droit. Le point M est sur le cercle ABC.

Les arcs AM et MC sont égaux et les angles qui les sous-tendent sont égaux.

BM est la bissectrice de l'angle ABC et chaque angle vaut 45°.

 

Construction

Comment construire la bissectrice d'un angle droit ?

Construire un triangle rectangle, avec une hypoténuse quelconque et dessiner le carré sur cette hypoténuse.

Trouver le centre du carré à l'aide des deux diagonales.

Joindre ce point au sommet  de l'angle droit (segment rose). C'est la bissectrice e l'angle droit.

 

 

 

 

Théorème

 

La droite qui passe par le centre du carré et par le sommet à angle droit  d'un triangle rectangle en "chapeau" sur le carré est la bissectrice de l'angle droit.

 

 

 

Voir Brève 736 / Méthodes de constructions

 

 

 

 

Suite

*       Bissectrice

*       Bissection du triangle

*       Trisection

Voir

*       Allumettes

*       Construction de racine de 2

*       Centre du cercle

*       Pentagone ou étoile à cinq branches

Autres

*       Cycloïde

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*       Heptagone

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*       Quadrature du cercle

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