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	Dénombrement
Débutants Dénombrement	Autour d'une TABLE RONDE				Glossaire Combinatoire
INDEX Dénombrement	3 personnes	4 personnes	5 personnes	6 personnes
		Sommaire de cette page >>> 4 personnes (libres) >>> 4 personnes en couples >>> 4 personnes voisines une seule fois >>> Chaque personne ne sera jamais assise à côté des deux mêmes personnes

À QUATRE autour d'une TABLE RONDE

Combien de possibilités pour disposer les convives.

En résumé

Quantité de dispositions avec k convives (k personnes):

Sur un banc (ou table en ligne): k! = 1 x 2 x 3 … x k

Autour d'un table ronde: (k – 1)! = 1 x 2 x 3 … x (k – 1)

4 personnes (libres)
Table en ligne (banc ou table en U) Quatre convives. Combien de repas pour couvrir toutes les possibilités de placements de ces convives le long de la table? C'est un arrangement: Je choisis le premier: 4 possibilités; Je choisis le deuxième: 3 possibilités; Je choisis le troisième: 2 possibilités; Le quatrième prend la dernière place; Soit 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24. 4 ! se lit factorielle 4.	N = 4 ! = 24 Voici les 24 arrangements ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Table en rond Quatre convives. Combien de repas pour couvrir toutes les possibilités de placements de ces convives le long de la table? C'est un arrangement particulier! Pourquoi? Le premier convive, par exemple, peut être placé à l'une des quatre places sans que cela change les conditions de son voisinage. Seule change sa situation géographique dans la pièce; On a donc quatre cas identiques à une rotation de 90° près; Soit quatre fois moins de possibilités qu'avec la table en ligne; Il s'agit da la quantité d'arrangements hors permutations circulaires.	N = 4! / 4 = 3 ! = 6 Voici les 6 arrangements qui subsistent ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

4 personnes en couples
Table en ligne Quatre convives: 2 hommes et deux femmes Combien de possibilités en conservant. l'alternance homme-femme? C'est un arrangement très particulier: Voyons les cas possibles; On permute les femmes ou on permute les hommes; Soit 4 cas.	H1 F1 H2 F2 H1 F2 H2 F1 H2 F1 H1 F2 H2 F2 H1 F1 N = 4
Table en rond Quatre convives: 2 hommes et deux femmes. Combien de possibilités en conservant l'alternance homme-femme? En fait, chaque homme est déjà à côté de chaque femme. Il n'y a qu'une possibilité, aux rotations de 90° près.	N = 1

4 personnes voisines une seule fois
Table en ligne Quatre convives. Combien de possibilités de placements sachant que chaque ne peut avoir le même voisin qu'une seule fois? C'est un arrangement très particulier: Voyons les cas possibles; Pour si retrouver, on note en exposant les voisins déjà rencontré par la personne; Par exemple 3^24 signifie que la personne n°3 a déjà eu comme voisines les personnes 2 et 4; par conséquent, on ne peut plus mettre ces personnes à côté de lui.	1^2 2^13 3^24 4^3 1^23 3^124 / 2^134 4^23 1^24 3^124 1 2 3 4 & 2 4 1 3 N = 2
Table en rond Quatre convives. Combien de possibilités de placements sachant que chaque ne peut avoir le même voisin qu'une seule fois? Par rapport à la table en ligne, la situation est simple: une seule possibilité. En effet, parmi les deux possibilités de la table en ligne, en la mettant en rond, les convive 1 et 4 sont voisins dans le premier cas et également dans le second.	1 2 3 4 N = 1
S'en persuader! Parmi les 24 arrangements, il est curieux de n'avoir que si peu de cas d'arrangements avec voisins uniques. Un premier tri consiste à éliminer tous ceux pour lesquels on retrouve une distance de voisinage égale à 1. Cas de 1 et 2, 2 et & 3 et 4 . De 24, on passe à 3 seulement. On repère facilement que le troisième cas remet 1 et 3 proche alors qu'ils l'ont été dans le deuxième cas. Pour la table ronde les convives 1 et 4 se retrouveraient deux fois voisins.	Toutes les permutations – Table en ligne [1, 2, 3, 4], [1, 2, 4, 3], [1, 3, 2, 4], [1, 3, 4, 2], [1, 4, 2, 3], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 3, 4], [2, 1, 4, 3], [2, 3, 1, 4], [2, 3, 4, 1], [2, 4, 1, 3], [2, 4, 3, 1], [3, 1, 2, 4], [3, 1, 4, 2], [3, 2, 1, 4], [3, 2, 4, 1], [3, 4, 1, 2], [3, 4, 2, 1], [4, 1, 2, 3], [4, 1, 3, 2], [4, 2, 1, 3], [4, 2, 3, 1], [4, 3, 1, 2], [4, 3, 2, 1] Permutations sans voisinage avec distance unité [1, 2, 3, 4], [2, 4, 1, 3], [3, 1, 4, 2] Permutations sans voisinage du tout [1, 2, 3, 4], [2, 4, 1, 3],

Chaque personne ne sera jamais assise à côté des deux mêmes personnes
Ce cas est celui que l'on trouve souvent sur Internet sans que l'énoncé soit suffisamment précis. Il s'agit bien que chaque personne, lors de la disposition suivante, ne soit pas voisine du même couple, que les deux personnes concernées soient l'une à droite et l'autre à gauche ou vice versa. Sur les six dispositions autour d'une table ronde, les trois dispositions du bas sont les mêmes que celles du haut, à ceci près que l'on tourne une fois dans le sens horaire l'autre fois dans le sens antihoraire. La quantité de dispositions de quatre personnes autour d'une table ronde sans retrouver les deux mêmes voisins est égale à 3. Avec 5 personnes, on aurait: ½ 4! = 12.	Illustration Formulation Quantité d'arrangements de n personnes autour d'une table ronde: (n – 1)! En tenant compte de la symétrie liée au sens de comptage: Q = ½ (n – 1)!

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Voir	Combinatoire – Panorama Combinatoire
Aussi	Dénombrer – Index Compter
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