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ARRANGEMENTS avec les NOMBRES Compter les chiffres pour
former les nombres divisibles par 5. |
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Quantité de nombres divisibles par deux et inférieurs à une valeur
donnée
Le nombre 0 étant compté |
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Le calcul
direct est donné en bas de tableau. Le calcul
pas à pas permet de tracer la méthode pour le cas où les chiffres sont différents. Tous les
chiffres |
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Contrainte |
Résultats |
Illustration En
rouge les interdits |
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1 chiffre |
Seul 5 est un nombre à 1 chiffre
divisible par 5. Le suivant est 10, avec 2. |
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2 chiffres 10 15 20 25 … 90 95 |
Si l'unité est 0 la dizaine
est l'un des 9 chiffres (le 0 n'est pas possible): 9 possibilités. Si l'unité est 5 la
dizaine est l'un des 9 chiffres (le 0 n'est pas possible): 9 possibilités. Total: principe
additif Total
des nombres de 2 chiffres divisibles par 5: 9 + 9 = 18 |
d = {0, 1, 2, … 9} => 9 ou Card(d)
= 9
d = {0, 1, 2, … 9 } => 9 ou Card(d) = 9 |
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3 chiffres 100 105 110…195 200 205 210…295 … 900 905 910…995 |
Calcul pour chaque position:
Total: principe
multiplicatif Nombres à 3 chiffres sont divisibles
par 5: 2
x 10 x 9 = 180 |
u = {0, 5} => 2 d = {0, 1, 2, … 9} => 10 c = {0, 1, 2, … 9} => 9 |
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TOTAL < 1000 |
Total de nombres inférieurs à 1000 divisibles
par 5 1 + 18 + 180 = 199 |
Ce serait 200 si on comptait le nombre 0 |
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Calcul direct 000 005 010…095 100 105 110…195 … |
On considère les nombres à 3
chiffres, même s'ils commencent par des 0. L'illustration montre les
possibilités, y compris le 000 Total: 2 x 10 x 10
= 200 |
u = {0, 5} => 2 d = {0, 1, 2, … 9}
=> 10 c = {0, 1, 2, … 9}
=> 10 |
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Contrainte |
Résultats |
Illustration En
rouge les interdits |
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2 chiffres différents 55 exclu |
Si l'unité est 0 la
dizaine est l'un des 9 chiffres (le 0 n'est pas possible): 9 possibilités. Si l'unité est 5 la dizaine
est l'un des 8 chiffres (le 5 répétant le chiffre des unités est exclu): 8
possibilités. Total: principe
additif Total des nombres à 2 chiffres
différents divisibles par 5: 9
+ 8 = 17 |
d = {0, 1, 2, … 9} => 9
d = {0, 1, 2, … 5 … 9 }
=> 8 |
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3 chiffres tous différents 100 110 115 155 200 220 225 255 … exclus |
Si l'unité est 0 les
deux autres sont choisis parmi les 9 autres chiffres que 0, soit les
arrangements de 2 parmi 9: A29 = 9! / 7! = 9 x 8 = 72 Si l'unité est 5
Total: principe
additif Total des nombres à 3 chiffres
différents divisibles par 5: 72
+ 64 = 136 |
d = {0, 1, 2, … 9} => 9 c = {0, 1, 2, … d … 9}
=> 8
d = {0, 1, 2, …5 … c … 9} => 8 c = {0, 1, 2, … 5 … 9}
=> 8 Subtilité on
a examiné les centaines avant
les dizaines du
fait du rôle particulier du 0 Il
est permis pour les dizaines et
pas pour les centaines Voir
ci-dessous |
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Reprenons le calcul précédent
lorsque l'unité est 5
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d = {0, 1, 2, …5… 9} => 9 c = {0,
1, 2, … 5 … d…
9} => 7 |
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TOTAL < 1000 avec des chiffres différents |
Total de nombres inférieurs à 1000
divisibles par 5 1 + 17 + 136 = 154 |
Un calcul direct n'est pas possible 2 x A29 = 144 Il faut décomposer le calcul en
dizaines et milliers |
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Vous pouvez
continuer le calcul en remarquant
Voir Tableau
explicatif complet avec tous les nombres |
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Voir |
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