NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de premiers

 

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Nombres

 

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres premiers de Pierpont

>>> Propriétés

>>> Construction avec trisecteur

>>> Liste des premiers de Pierpont

>>> Liste de premiers de classe 5

 

 

 

 

Nombres premiers de Pierpont

ou premiers de classe 1-

ou premiers 3-friables

 

Nombres premiers en relation avec les nombres de Fermat et la trisection. 

Voir Barre magique des nombres premiers

 

 

 

Nombres premiers de Pierpont

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers

 

… / Types de nombres premiers et cousins

Définition

 

NOMBRES PREMIERS de PIERPONT

 

Nombres premier de la forme 2u3v + 1 avec u et v des entiers naturels.

 

Exemples

u = 1 et v = 1     => 21.31 + 1 =     7, premier.

u = 2 et v = 3     => 22.33 + 1 = 109, premier.

Autre définition

Un nombre premier de classe 1- (ou de Pierpont) est tel que les facteurs de p – 1 sont 2 et 3 seulement.

Donc p – 1  est un nombre 3-friable.

 

Généralisation

Un nombre premier de classe R- est tel que les facteurs de p – 1 sont R-friables.

Anglais

A Pierpont prime is a prime number of the form p = 2u3v + 1.

Auteur

James Pierpont (1886-1938), mathématicien américain.

Recherches sur la théorie des équations de Galois et sur l'analyse réelle et complexe.

 

Propriétés

Si u > 0 et  v = 0

 

Alors u est une puissance de 2.

Et, le nombre devient 2u  + 1  qui est un nombre de Fermat.

 

u = 1 => p = 3;  u = 2 => p = 5;  u = 4 = 2² => p = 17; u = 8 = 23 => p = 257;  …

Si v > 0

Alors u est non nul.

Et les nombres premier de Pierpont est en 6k + 1.

Table pour u et v de 0 à 5

u

v

p

k

1

 1

 7

 1

1

 2

 19

 3

1

 4

 163

 27

1

 5

 487

 81

2

 1

 13

 2

2

 2

 37

 6

2

 3

 109

 18

3

 2

 73

 12

4

 3

 433

 72

4

 4

 1297

 216

4

 5

 3889

 648

5

 1

 97

 16

5

 4

 2593

 432

Infinité

Il y a une infinité de nombres premiers (conjecture).

Ils sont 42 jusqu'à un million.

 

 

Construction avec trisecteur

Constructibles

 

Un polygone régulier à n côtés est constructible avec règle, compas et trisecteur d'angles si:

Avec pi = nombre premier de Pierpont et n > 3.

 

Le plus petit premier non-Pierpont est 11. Le hendécagone n'est pas constructible de cette manière.

Les polygones de 3 à 21 sont constructibles de cette manière.

 

 

 

Liste des premiers de Pierpont

 

Jusqu'à 100, dix sont Pierpont:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97

 

Jusqu'à 100, quinze ne sont  pas Pierpont:

11, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89

 

 

Liste des 42  jusqu'à un million

 

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329,

 

Ensuite

1179649, 1492993, 1769473, 1990657, 2654209, 5038849, 5308417, 8503057, 11337409, 14155777, 19131877, 28311553, 57395629, 63700993, 71663617, 86093443, 102036673, 120932353, 258280327, 483729409, 725594113, 1088391169, 3439853569, 6879707137, 11609505793, 29386561537, 69657034753, 1253826625537, 1410554953729, 2380311484417, 6347497291777, 14281868906497, 22568879259649, 33853318889473, 457019805007873,…

 

Programme Maple

Commentaire

La liste L va recevoir les nombres premiers de la forme voulue pour u et v prenant toutes les valeurs de 0 à 5. Avec les parenthèses {  } ,  la liste est ordonnée par ordre croissant.

 

 

42 nombres premiers de la forme p = 2u3v + 1  jusqu'à un million 

Liste idem à celle ci-dessus mais avec indication des exposant u et v

[u, v, p]

[0, 0, 2], [1, 0, 3], [1, 1, 7], [1, 2, 19], [1, 4, 163], [1, 5, 487], [1, 6, 1459], [1, 9, 39367], [2, 0, 5], [2, 1, 13], [2, 2, 37], [2, 3, 109], [2, 6, 2917], [3, 2, 73], [3, 7, 17497], [3, 8, 52489], [3, 10, 472393], [4, 0, 17], [4, 3, 433], [4, 4, 1297], [4, 5, 3889], [5, 1, 97], [5, 4, 2593], [5, 8, 209953], [5, 9, 629857], [6, 1, 193], [6, 2, 577], [6, 7, 139969], [7, 2, 1153], [7, 3, 3457], [7, 4, 10369], [7, 8, 839809], [8, 0, 257], [8, 1, 769], [10, 6, 746497], [11, 2, 18433], [12, 1, 12289], [12, 4, 331777], [12, 5, 995329], [14, 2, 147457], [16, 0, 65537], [18, 1, 786433]

 

Voir Programmation – Index

 

 Liste de premiers de classe 5

 

34 nombres premiers de la forme p = 2u3v5w + 1 avec w > 0 jusqu'à 10 000

 

[u, v, w, p]

[1, 0, 1, 11], [1, 0, 3, 251], [1, 1, 1, 31], [1, 1, 2, 151], [1, 1, 3, 751], [1, 2, 3, 2251], [1, 3, 1, 271], [1, 4, 1, 811], [1, 4, 2, 4051], [2, 0, 2, 101], [2, 1, 1, 61], [2, 2, 1, 181], [2, 3, 1, 541], [2, 4, 1, 1621], [2, 4, 2, 8101], [2, 5, 1, 4861], [3, 0, 1, 41], [3, 1, 2, 601], [3, 1, 3, 3001], [3, 2, 2, 1801], [3, 2, 3, 9001], [3, 5, 1, 9721], [4, 0, 2, 401], [4, 1, 1, 241], [4, 1, 2, 1201], [4, 3, 1, 2161], [4, 4, 1, 6481], [5, 0, 3, 4001], [6, 0, 2, 1601], [6, 1, 2, 4801], [6, 3, 1, 8641], [7, 0, 1, 641], [7, 1, 2, 9601], [9, 1, 1, 7681]

 

 

 

 

 

 

Voir

*  Types de nombres premiers – Index 

*  Trisection

*  Constructible

Sites

*  OEIS A005109 – Class 1 – (or Pierpont) primes: primes of the form 2^t*3^u + 1   

*  Voir aussi A113420, A113412

*  Pierpont prime – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/Pierpont.htm