NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Matrice 2x2

 

 

 

 

MATRICES – Inversion

 

Un produit de deux matrices qui donne la matrice identité

M x M' = I

Voir Débutants / Novices

 

 

 

APPROCHE

 

*   On sait trouver deux nombres qui multipliés entre eux donne l'unité.

 

*   Peut-on faire la même chose avec une matrice?

-          Une multiplication de deux matrices qui donne la matrice identité.

 

 

*   Oui, mais pas toujours!

-          La matrice doit être carrée

-          Le déterminant doit être non nul

La seconde matrice est appelée l'inverse de la première.

 

 

2 x 1/2 = 1

5 x 0,2 = 1

 

 

 

a

b

x

u

v

=

1

0

c

d

w

t

0

1

 

 

 

 

 

3

5

x

7

-5

=

1

0

4

7

-4

3

0

1

 

            Matrice              Son inverse     Matrice identité

 

 

 

 

MATRICE 2 x 2

 

*  Comment calculer l'inverse d'une matrice?

 

*  Le truc est de calculer son déterminant

 

-         et de diviser chaque coefficient par ce déterminant

-         en les plaçant dans un ordre bien particulier: intervertir a et d , puis prendre le négatif de b et c

 

 

D = ad - bc

 

 

a

b

x

d/D

-b/D

=

1

0

c

d

-c/D

a/D

0

1

 

 

 

 

 

Exemple

 

Calcul du déterminant

Calcul des coefficients de la matrice inverse

 

 

 

3

5

x

7/1

-5/1

=

1

0

4

7

-4/1

3/1

0

1

D = 3x7 – 5x4 = 21 – 20 = 1

 

 

 

Autres exemples

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Note

Il est rare de trouver une matrice et son inverse à coefficients entiers ayant un déterminant autre que 1 ou -1

 

1

2

x

-2

1

=

1

0

3

4

3/2

-1/2

0

1

D = 1x4 – 2x3 = -2

 

1

0

x

1

0

=

1

0

0

1

0

1

0

1

D = 1x1 – 0x0 = 1

 

1

1

x

1

-1

=

1

0

0

1

0

1

0

1

D = 1x1 – 0x1 = 1

 

 

 

100

22

x

1

-11

=

1

0

9

2

-9/2

50

0

1

D = 100x2 – 22x9 = 2

 

 

 

 

 

 

 

SUITE

* Déterminant

Voir

* Équations

* Outils mathématiques

* Théorie des nombres

Sites

* Matrice (mathématiques) - Wikipédia

* Matrice – Résumé des cours – BibM@th.net

* Matrix -- from Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Outils/Matrice/Inverse.htm