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Théorie des ensembles

Partition

de l'ensemble universel U

Combien de parties (sous-ensembles) obtient-on au maximum avec deux ensembles dans U, trois ou quatre?

Comment les représenter pour les dénombrer?

Les ensembles dans U avec deux ou trois ensembles
Nous avons vu ces cas sur la page sous-ensembles. Description de chacune des zones créées en utilisant uniquement les intersections d'ensembles. Notation: on indique si la partie concernée est contenues dans l'ensemble E (rouge), F (bleu) ou G (noir). EF veut dire que cette zone appartient à la fois à E et à F. La partie de U non affectée par les ensembles E, F … est notée en E F … surligné (ensemble complémentaire). La quantité de sous-ensembles obtenus avec n ensembles dans U est égale au maximum à 2^n.	Les 4 sous-ensembles obtenus avec 2 ensembles dans U. Les 8 sous-ensembles obtenus avec 3 ensembles dans U.

Quatre ensembles dans U

Le cas de quatre ensembles est plus complexe à représenter. Nous proposons deux possibilités. Les 16 sous-ensembles obtenus avec 4 ensembles dans U: Les deux zones colorées en vert appartiennent à l'ensemble H. Il faut deux zones distinctes pour représenter les 16 régions. Pour imaginer cette figure: prenez la figure à trois ensembles et plaquez la forme en relief en forme de couvercle avec téton central montrée ci-dessous: La couronne correspond à la zone verte de H en périphérie et la remontée centrale correspond au cercle central.

Quatre ensembles dans U – Représentation alternative
Voici une autre représentation sans trous dans les ensembles, mais avec un trou dans U (en haut en jaune) du fait du contournement de la zone E pour atteindre G et H.

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