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		Sommaire de cette page >>> Méthode >>> Enveloppe: GRILLE 4x4 – 2 lignes de 2 >>> Enveloppe: GRILLE 9x5 – 3 lignes de 5 >>> Réduction d'enveloppe >>> Calcul précis avec aide ordinateur

LOTO traditionnel avec cartons

Loto familial

Quantité maximale de cartons

Après la présentation du loto traditionnel et ses règles de rédaction des cartons, on estime ici quelle est la quantité maximale de carton. Comment se faire une idée de la valeur enveloppe.

Les pages suivantes présentent le calcul précis.

Bilan

1,19… 10³⁵ cartons possibles sans les règles;

7,19… 10²¹ cartons en introduisant quelques règles; et

3,66… 10¹⁸ cartons avec toutes les règles du loto traditionnel.

Anglais: Bingo / Bingo Lotto Lottery with tickets / Tambola ticket

Méthode d'estimation

Pour calculer une estimation enveloppe, on s'affranchit des règles du loto en permettant tous les choix possibles. Le calcul des possibilités se simplifie grandement.

On commence, néanmoins, par analyser un cas simple.

Enveloppe: GRILLE 4x4 – 2 lignes de 2
Configurations Cas de la grille 4 x 4 avec 2 cases sélectionnés par ligne. Aucune restriction sur la disposition des lignes Dénombrement (combinaisons) Ligne 1: choix de 2 parmi 4 => 6 Ligne 2: choix de 2 parmi 4 => 6 Total: 6 x 6 = 36	Toutes les configurations
Distribution des nombres sur une configuration On dispose de 5 nombres de 1 à 5. Aucune restriction sur la distribution des nombres sur une configuration Dénombrement Il s'agit des permutations de 4 nombres parmi 5. Total; 5 x 4 x 3 x 2 = 120 En rouge les permutations de 4 nombres parmi 4: 4! = 24 Attention Permutations de 2 nombres parmi 5 = 5 x 4 = 20. Produit de 2 nombres à partir de 5.	Toutes les distributions
Quantité de cartons	Quantité de configurations: (2 parmi 4)^2 = 36 Quantité de cartons par configuration: 5! = 120 Quantité totale de cartons: 4 320

Enveloppe: GRILLE 9x5 – 3 lignes de 5
Configuration Trois lignes de 5 cases parmi 9
Distribution des nombres sur une configuration Permutations de 15 nombres choisis parmi 90
Quantité de cartons	119794175088927941539489436172288000 = 1, 19 … 10^35

Réduction d'enveloppe
Configuration Élimination des lignes identiques et population de chaque ligne.	Enveloppe: 2 000 376 Avec restrictions: 733 320
Distribution des nombres sur une configuration Pour tenir compte de la répartition par dizaine dans les colonnes, on ne compte que les permutations ordonnées des nombres, ce sont les combinaisons de 15 nombres choisis parmi 90.
Quantité de cartons	7 196 332 206 775 372 626 240 = 7, 19 … 10^21

Calcul précis avec aide ordinateur
Configuration Élimination des lignes identiques et population de chaque ligne.	Enveloppe: 2 000 376 Avec restrictions: 157 140
Distribution des nombres sur une configuration Répartition des nombres en respectant les dizaines dans chacune des configurations. Note: évidemment, on retrouve une même distribution de nombres sur chacune des configurations. Par exemple, les 15 premiers nombres se retrouvent sur toutes les configurations.	Calcul combinatoire très délicat du fait des configurations variées et de la distribution inégale dans les dizaines. Nécessité d'un examen pour chacune des configurations (ou groupes de configurations semblables, à identifier !) Pour une configuration, on trouve les quantités de cartons: Min 1, 7… 10^12 Moyenne 5, 2… 10^12 Max 9, 1… 10^12
Quantité exacte de cartons Compte tenu de toutes les règles de rédaction des cartons. Calcul et idée de ce nombre >>>	3 660 498 857 039 062 500 = 3,66… 10^1^8

Suite	Loto traditionnel – Quantité de configurations Loto de la Française des Jeux – Probabilité de gagner
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