NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Multiplications à 2 x 2 chiffres

Multiplications à deux chiffres par deux chiffres. On se propose de trouver quelles sont les multiplications à deux chiffres qui présentent le maximum de chiffres identiques, y compris dans les produits intermédiaires. Deux détiennent le record de 9 chiffres identiques.

Par ailleurs, aucune ne donne un produit formé de quatre chiffres identiques. Mais, elles sont nombreuses à produire trois chiffres identiques comme 31x36 = 116 ou 31x43 = 1333.

Multiplication à 9 chiffres identiques
Puzzle n°1 Complétez la multiplication avec le même chiffre X et d'autres chiffres pour les autres places. La solution est unique. Indice: les deux nombres manquants dans le résultat sont identiques. Ce nombre avec les deux manquants forment une tierce.
Puzzle n°2 Complétez la multiplication avec le même chiffre X et d'autres chiffres pour les autres places. La solution est unique. Indice: les deux nombres manquants dans le résultat sont identiques.. Ce sont les deux seules multiplications à deux chiffres qui produisent ce record de 9 chiffres identiques.

Multiplication à 10 chiffres identiques
La multiplication à 2 x 2 chiffres produisant le plus de fois le même nombre y compris en comptant les résultats intermédiaires est celle montrées ci-contre avec 10 fois le chiffre 1. Ce record trivial est éliminé en imposant que le produit soit un nombre à six chiffres.

Toutes les solutions avec 8 chiffres identiques
Multiplication à deux chiffres ayant 8 chiffres identiques au moins. Voici les sept solutions à neuf chiffres et les deux solutions record à neuf chiffres (en jaune).	n, m, P1, P2, R, 37, 33, 111, 111, 1221 19, 69, 171, 114, 1311 37, 66, 222, 222, 2442 74, 33, 222, 222, 2442 51, 55, 255, 255, 2805 37, 99, 333, 333, 3663 61, 66, 366, 366, 4026 74, 66, 444, 444, 4884 91, 55, 455, 455, 5005 86, 88, 688, 688, 7568 99, 91, 99, 891, 9009

Multiplication avec 4 chiffres consécutifs
Multiplication à deux chiffres ayant un résultat formé de quatre chiffres consécutifs. Voici les 7 solutions. Seule solution avec écart de 2.	67, 35, 335, 201, 2345 48, 72, 96, 336, 3456 54, 64, 216, 324, 3456 96, 36, 576, 288, 3456 97, 56, 582, 485, 5432 73, 93, 219, 657, 6789 89, 86, 534, 712, 7654 59, 23, 177, 118, 1357

Dénombrement
De manière que la multiplication soit effectivement une multiplication de deux nombres à deux chiffres, seule la variable b peut prendre la valeur 0. La variable a varie de 1 à 9 => 9 possibilités. La variable b varie de 0 à 9 => 10 possibilités. La variable c varie de 1 à 9 => 9 possibilités. La variable d varie de 1 à 9 => 9 possibilités. Chaque variable évoluant indépendamment l'une de l'autre, la quantité totale de possibilité est le produit des possibilités individuelles: Q = 9 x 10 x 9 x 9 = 7 290 Pour dénombrer les seules multiplications dont le produit comporte quatre chiffres, la tâche est un peu plus ardue. Le tableau ci-contre montre la quantité Q de multiplications produisant trois chiffres lorsque n vaut 10, 11, 12, … m est le plus grand nombre tel que n.m < 1000. Exemple: pour 17, le produit juste inférieur à 1000 est 17 x 58 = 986 de 11 à 58 il y a 44 possibilités (4x9 = 36 de 11 à 49 et 8 de 50 à 58). La quantité de multiplications à deux chiffres par deux chiffres produisant un résultat à quatre chiffres est: T = 7 290 – 1 294 = 5 996	n, m, Q 10, 99, 81 11, 89, 72 12, 83, 66 13, 76, 60 14, 71, 55 15, 66, 51 16, 62, 47 17, 58, 44 18, 55, 41 etc. Somme cumulée sur Q 81 + 72 + 66 + … = 1 294

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Multiplication à 9 chiffres identiques - Solution
Puzzle n°1 La solution est unique Le résultat 4884 est un palindrome sympathique.
Puzzle n°2 La solution est unique Le résultat 3664 est également un palindrome sympathique.

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