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Édition du: 03/04/2022

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INDEX

 

Logique

 

 

 

LOGIQUE

Débutants

EN BREF

Logique de Boole

Dualité

Raisonnement

Théorie des ensembles

Historique

Démonstration

Logique des propositions

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LOGIQUE – EN BREF

 

Comment commencer en logique? Comprendre les bases.
Différences en propositions et prédicats.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Les logiques
>>> Propositionnelle ou Prédicats
>>> Propositions élémentaires ou composées

Débutants

Général

 

Glossaire

Logique

 

 

 

Les logiques

haut

LOGIQUES FORMELLES (sans variables)

Logique binaire (de Boole)

Portail fermé ET appel, ouverture du portail.

Logique des ensembles

Les élèves qui apprennent l'Anglais et le Latin.

Logique des phrases,
des propositions

S'il fait froid, alors je mhabille. >>>

 LOGIQUE DES PRÉDICATS (avec variables quantitatives ou qualitatives)

Logique des "maths",
des prédicats

Si P:  a > 2 et a = 3, alors P est vrai.
"a" est la variable;

"> 2" est le prédicat; et

"alors P est vrai " est une proposition.     >>>

Voir Nomenclature des différents types de logiques

 

 

 

Propositionnelle ou Prédicats

TYPE

Logique classique

Logique de Boole, ou

Logique propositionnelle

Propositional Logic

Calcul des prédicats

 

Predicate Logic

APPROCHE

 

 

Applications

Les circuits logiques des ordinateurs (par exemple).

Les démonstrations mathématiques (par exemple).

Typiquement

a OU b est vrai ?

x > y est vrai ?

Variable

Binaire (vrai ou faux; 1 ou 0)

Multi-valeurs (nombres, objets)

Exemple

P:  a ET b

P(X):  X est un homme

Devient proposition

a = vrai, b = vrai, alors P est vraie.

X = Jacques, alors P(X) est vraie.

DESCRIPTION

 

 

Valeur de vérité

Proposition vraie ou fausse.

Ex. Il pleut ET le sol est mouillé est une proposition vraie.

Proposition dont la valeur de vérité dépend des variables (paramètres).

Ex. X est un homme, alors le prédicat P(X) est une proposition vraie.

Domaine

Expression énonçant une propriété

qui a une valeur de vérité vraie ou fausse.

En donnant une valeur vraie ou fausse aux variables, l'expression devient une proposition vraie ou fausse.

Expression (prédicat) énonçant une propriété à propos d'une ou plusieurs variables.

En donnant une valeur aux variables, le prédicat devient une proposition vraie ou fausse.

Filiation

C'est la logique classique.

Elle est la plus largement utilisée, notamment dans les ordinateurs

Extension de la logique classique aux prédicats de toutes natures et à leur quantification.

Couverture

Aucune considération sur la nature des variables traitées

Elles sont binaires, un point c'est tout.

Les variables traitées sont quantifiées ou qualifiées.

Leurs effets sont le sujet d'étude.

"Grammaire"

Les propositions sont combinées avec des opérateurs logiques ou des connecteurs logiques comme:

*    la négation(¬),

*    la disjonction(),

*    la conjonction(),

*    le OU exclusif(),

*    l'implication(),

la bi-conditionnelle ou double implication().

Il existe trois quantificateurs:

*    le quantificateur universel (∀x): pour tout x …;

*    le quantificateur existentiel (∃x): il existe un au moins un x …; et

le quantificateur d'unicité (∃x !): il existe exactement un x …

 

 

PROPOSITIONS élémentaires ou composées

haut

 

Propositions

 

On s’intéresse à des affirmations concernant des choses particulières, ces affirmations pouvant être vraies ou fausses.

Ces affirmations sont des propositions* il en existe de deux sortes.

* appelées parfois "formule" pour mieux les identifier.

 

 

Propositions élémentaire (PE)

Ce sont des expressions que l’on considère indécomposables.

Certaines de ces propositions sont vraies, certaines sont fausses.

Quelquefois la vérité (ou la fausseté) d’une proposition nous est donnée, quelquefois nous devons la déterminer.

 

Propositions composées (PC)

Ce sont des propositions obtenues à partir d’autres

propositions plus petites en appliquant des opérations logiques.

Dans la pratique, ces opérations sont la négation (non), la conjonction (et), la disjonction (ou) et le conditionnel (si … alors).
   

Exemples

 

 

En ROSE, les connecteurs logiques.

 

PE: Il fait chaud

PC: Il ne fait pas chaud
ou plus 'logiquement": NON (il fait chaud)

 

PE: Je nettoie la table

PC: La table n'est pas propre et je regarde
ou: NON (table propre), ET (je regarde).

PC: La table n'est pas propre alors je nettoie
ou: SI NON (table propre), ALORS (je nettoie).

 

Objectif du calcul des propositions

 

Décider de la vérité de telle ou telle affirmation.

Et, vérifier un raisonnement en formalisant précisément

*      les connaissances (quelles sont les propositions vraies) et

*      les moyens de déduire de nouvelles connaissances à partir de ce qui est déjà connu.

 

 

Bilan

Si cette présentation succincte est du niveau secondaire, la pratique de ces logiques et du domaine de l'enseignement supérieur.

 

 

 

 

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Sites

*       Logique formelle et modélisation du raisonnement – Notions de base – Denis Roegel – 1999

*       Cours sur la logique formelle – Tristan Canale et Geoffrey Just – Université de Saint-Étienne – 2016  

*       Mathematics – Introduction to Propositional Logic - geeksforgeeks

*       Difference between Propositional Logic and Predicate Logic - geeksforgeeks

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/Logbref.htm