Racine numériques: Propriétés

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RACINES NUMÉRIQUES (RN)

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>>> Racine numérique de 1234 • n

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Racine numérique de 1234 · n

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Problème

Démontrer cette propriété:

R(9m + n) = R(n) pour tout m et n, des entiers positifs.

En déduire que:

R(1234 · n) = R(n) pour tout n entier positif.

Racine numérique

On rappelle que la racine d'un somme est la somme de ses chiffres jusqu'à n'en laisser qu'un.

Ex: R(2345678) = R(35) = R(8) = 8

Solution

Le nombre 9m + n est un nombre et il peut être développé en puissance de 10 comme tous les autres.

Avec cette propriété:

100a = (100 – 1)a + a

Et en réarrangeant l'égalité

Les nombres dans les parenthèses sont divisibles par 9.

Le nombre 9 peut être mis en facteur d'un nombre représentant tout le reste y compris le 9m.

Avec m > m₁

Cette opération est répétée avec des nombres m de plus en plus petits.

Ce qui conduit pour le nombre considéré:

m > m₂> …> m_k= 0

R(9m + n) = R(9m₁ + n) = R(9m₂ + n) =…

= R(9m_k + n) = R(n)

Si m = 137 · n
alors:

9m + n = 9 · 137 · n + n = 1234n

R(9m + n) = R(1234n) = R(n)

Commentaires

Si on admet que l'on effectuer toutes les opération sur les racines numériques comme sur les nombres, il est évident que R(1234 x n) = R(1234) x (n) = 1 x n.

De même, avec 9m + n, on sait que le multiple de 9 produisent un effet nul sur la racine numérique (on se souvient de nos calculs pour la preuve par 9). Donc: R(9m + n ) = R(9m) + R(n) = R(n)

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