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Édition du: 05/12/2022 |
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INDEX |
RACINES NUMÉRIQUES |
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Racines numériques (RN) |
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RACINES NUMÉRIQUES (RN) Propriétés, curiosités, énigmes |
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Sommaire de cette page >>> Racine numérique de 1234 • n |
Débutants Glossaire |
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Problème Démontrer cette propriété: R(9m + n) = R(n) pour tout m et n, des entiers
positifs. En déduire que: R(1234 · n) = R(n) pour tout n entier positif. |
Racine numérique On rappelle que la racine d'un somme est la somme
de ses chiffres jusqu'à n'en laisser qu'un. Ex: R(2345678) = R(35) = R(8) = 8 |
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Solution Le nombre 9m + n est un nombre et il peut être
développé en puissance de 10 comme tous les autres. |
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Avec cette propriété: 100a = (100 – 1)a + a Et en réarrangeant l'égalité |
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Les nombres dans les parenthèses sont divisibles
par 9. Le nombre 9 peut être mis en facteur d'un nombre
représentant tout le reste y compris le 9m. |
Avec m > m1 |
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Cette opération est répétée avec des nombres m de
plus en plus petits. Ce qui conduit pour le nombre considéré: |
m > m2 > …
> mk = 0 R(9m + n) = R(9m1 + n) = R(9m2 + n) =… = R(9mk + n) =
R(n) |
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Si m = 137 · n |
9m + n = 9 · 137
· n + n = 1234n R(9m + n)
= R(1234n) = R(n) |
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Commentaires
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Si
on admet que l'on effectuer toutes les opération sur les racines numériques
comme sur les nombres, il est évident que R(1234 x n) = R(1234) x (n) = 1 x
n. De
même, avec 9m + n, on sait que le multiple
de 9 produisent un effet nul sur la racine numérique (on se souvient de nos
calculs pour la preuve par 9). Donc: R(9m + n ) = R(9m) + R(n) = R(n) |
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