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Le BON ORDRE

Notion banale au départ mais qui donne bien du fil à retordre aux logiciens.

Approche

Formalisme Comme souvent les mathématiciens, et surtout les logiciens, ont besoin de formaliser les choses pour: être précis et rigoureux, pouvoir opérer des généralisations sur des êtres mathématiques insoupçonnables et se mettre en position de cogiter sur les limites, surtout à l'infini. Le théorème de Zemerlo, dit aussi du bon ordre, fait partie de ce besoin. L'aîné et le benjamin Il s'agit au départ de constater que les nombres entiers positifs se succèdent gentiment à partir de 0. Chaque nombre possède un successeur. Et chaque nombre possède un prédécesseur. De sorte que si j'en choisis quelques uns parmi eux, il y aura toujours un plus petit et un plus grand (et un seul de chaque). Dans un sous-ensemble de nombres entiers, il y en a toujours un et un seul qui est le plus petit; et, même chose pour le plus grand. Cela semble banal! Eh bien, c'est cette évidence qui est formalisée dans le théorème du bon ordre. Le théorème Le théorème pour les entiers s'énonce: Tout ensemble non-vide d'entiers positifs possède un élément minimal. Par exemple, le fait que la division donne un quotient et un reste, chacun unique, peut être démontré rigoureusement en faisant appel au théorème du bon ordre. Le théorème est généralisé à tous les ensembles: Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément.

Relation d'ordre

Pour avoir un aperçu définissons le bon ordre: Un ensemble E est bien ordonné s'il possède une relation < telle que: Pour tout a et b de E, une seule des trois relations suivantes est vérifiée: a < b, a = b, b< a; Pour tout a, b et c de E, si a < b et b< c, alors a < c; et Pout tout sous-ensemble S de E, il existe a dans S tel que a < b pour tout b de S. Avec les deux premières propositions, il s'agit d'un ordre total: tous les éléments peuvent être listés l'un après l'autre dans un ordre croissant. La troisièmes proposition indique que l'ensemble est bien construit (well-founded). Attention, s'agissant des nombres entiers le signe < veut dire inférieur au sens classique. Mais dans le cas général, le symbole < est notionnel; il s'agit d'un "inférieur généralisé", une nouvelle notion mathématique, une opération d'ordre qui devra être définie précisément. On dit qu'un ensemble muni d'une relation d'ordre est bien ordonné si et seulement si toute partie non vide de cet ensemble admet un élément minimum. L'ordre est alors appelé un bon ordre. On appelle segment initial d'une partie bien ordonnée un ensemble de cette partie tel qu'étant donné un élément de cette partie, tous les éléments qui sont inférieurs à cet élément sont aussi dans la partie. On appelle segment initial engendré par x l'ensemble des y plus petits que x; cette partie est clairement un segment initial.

Voir Relation d'ordre sur la droite numérique

Théorème de Zermelo ou théorème du bon-ordre

Théorème du bon ordre pour les entiers Tout ensemble non-vide d'entiers positifs possède un élément minimal. Well-Ordering Principle (WOP). Any nonempty set of positive integers has a least element. Ce n'est pas vrai pour les nombres négatifs et a fortiori pour les réels. Théorème du bon ordre général 1904: Démonstration de Ernst Zemerlo (1871-1953) Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément. Tout ensemble non vide est bien ordonnable, c'est-à-dire peut être muni d'une structure de bon ordre. Commentaires Le théorème dit: tout ensemble non-vide admet un bon ordre. Un ordre total tel que tout sous-ensemble non-vide possède un élément minimum. Au sens d'ordre, ces ensembles s'apparentent à celui des nombres entiers N (pas les relatifs). Ce qui implique que ce bon-ordre est impossible à expliciter pour la plupart des ensembles: Pour les ensembles Z, Q, R, il existe un ordre total qui est totalement différent de celui de l'ordre classique des nombres entiers naturels N. Nous ne savons pas comment le trouver, mais nous savons qu'il existe. Les nombres rationnels peuvent être bien ordonnés par un procédé lexicographique (généralisation de l'ordre alphabétique des dictionnaires). Pour les réels, on démontre qu'aucun bon-ordre ne peut être mis en évidence. Pourtant selon le théorème du bon-ordre, il existe. Le problème est que nous ne pouvons pas l'expliciter. Variantes Tout ensemble de nombres entiers positifs et négatifs ayant une borne inférieure possède un plus petit élément. Tout ensemble de nombres entiers positifs et négatifs ayant une borne supérieure possède un plus grand élément. Application Le fait que la division donne un quotient et un reste uniques peut être démontré en utilisant le théorème du bon-ordre. Propriété importante des nombres appelée "propriété archimédienne" ou "axiome d'Archimède" qui s'énonce ainsi: Pour tout a et b de N (nombres entiers) où a est non nul, il existe au moins un entier positif n tel que:

Anglais: Well-Ordering Theorem

Équivalences

Les propriétés suivantes sont équivalentes : Théorème du bon ordre (Zemerlo) Tout ensemble peut être bien ordonné. Axiome du choix (AC) Le produit d'une famille non vide d'ensembles non vides est non vide.  L’axiome de choix affirme qu’il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l’opération de choisir un élément dans un ensemble non vide. Théorème de Zorn Tout ensemble non vide ordonné dans lequel toute chaîne admet une borne supérieure, possède un plus grand élément. Lemme de Tukey Toute famille non vide de caractère fini a un membre maximal. Principe de maximalité de Hausdorff Tout ensemble non vide ordonné contient une chaîne maximale. Principe d'induction Le théorème du bon-ordre est équivalent au principe d'induction mathématique: Induction (faible) Bon-ordre. PMI WOP (Principle of mathematical induction, Well ordering principle).

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