NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   Géométrie

 

Débutants

Géométrie

Rectangles et disques

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Construction

 

Géométrie

Cercles dans le rectangle

Densité de disques

Empilement des sphères

Rectangle dans le cercle

 

Sommaire de cette page

>>> Cercles dans la boite rectangulaire

>>> Deux cercles dans le rectangle

>>> Deux cercles de même taille

>>> Rectangle et cercle tangent

>>> Rectangle et cinq cercles

>>> Intersection cercle-rectangle

 

Voir Propriétés fondamentales des triangles

                                                                                                                        

 

 

Cercles et Rectangle

 

Combien de cercles peut-on ranger dans un rectangle ? Quel type de rangement ?

Quel est le rayon des cercles inscriptibles dans le rectangle ?

*    le premier est tangent à trois côtés, et

*    le deuxième tangent à ce cercle et à deux côtés du rectangle.

 

Cercles dans la boite rectangulaire

 

Empilement rectangulaire

Taille de la boite rectangulaire contenant q = h.k disques de rayon R.



Note: sans confusion possible, on peut omettre les points de la multiplication.

 

 

Illustration

Application numérique

h = 2 rangées; k = 4 colonnes; q = 8 disques

R = 1

H = 2 x 2 x 1  = 4; K = 2 x 4 x 1 = 8

ARect = 4 x 8 = 32

ADisk = 3,14 x 8 x 1² = 25,1327…

Ratio: 78,53 %

 

 

Empilement triangulaire (h est impair)

Empilement  de h rangées de disques avec h = 2h' + 1

Dans ce cas, les centres des cercles forment un treillis de triangles équilatéraux.

Hauteur de chaque triangle:

Taille de la boite rectangulaire contenant q = h.k cercles de rayon R.



 

Note: les triangles équilatéraux en pointillés indiquent comment construire cette figure.

 

Illustration

 

Application numérique

h = 3; h' = 1; k = 4; q = 4 x 2 + 3 x 1 = 11

H = (2 x 1,73 + 2) x 1 = 5,4641…

K = 2 x 4 x 1 = 8

ARect = 8 x 5,46… = 43,7128…

ADisk = 3,14 x 11 x 1² = 34,5575…

Ratio: 79,055 %

Empilement triangulaire (h est pair)

Traitement semblable.

Pour les applications numériques, voir le calculateur en ligne indiqué. Le tableau suivant montre quelques ratios en comparant les deux types de remplissage.

 

Exemples avec Rectangle de dimensions H et K données

Note: en rangement triangulaire, la quantité de disques n'est pas égale à hk, car les rangées intermédiaires comptent un disque en moins.

  

Merci à Jérome Isoré pour l'idée de cette entrée

 

 

Deux cercles dans le rectangle

Défi

On dispose d'un rectangle de 16 x 10.

Un cercle de rayon 5 est inscrit, tangent à trois côtés.

Quelle le rayon du cercle le plus grand que l'on peut loger dans l'espace libre ?

 

Observation

Le second cercle est tangent au grand et aux deux côtés du rectangle.

Alignement L, K, I, H

Application numérique

Seule la plus petite racine est conforme à l'épure

Relation littérale

et

équation

 

Un troisième cercle dans le rectangle

 

Ses dimensions: 10 x 6,2228…

 

Calcul du rayon du nouveau cercle: 1,9553…

 

 

Deux cercles de même taille

 

La boite rectangulaire mesure 20 x 16. Quelle est le rayon des deux cercles identiques les plus grands logeant dans cette boite ?

La géométrie est visible sur ce dessin. Nous allons calculer les dimensions du triangle rectangle JOO':
OO' = 2R
JO = 2R sin

JO' = 2R cos

En exprimant les dimensions du rectangle:
H = 20 =  R + 2R sin  + R
K = 20 =  R + 2R cos
 + R
 

En isolant les lignes trigonométriques et en prenant les carrés.

(2R sin   = (H – 2R)²
(2R cos
  = (K – 2R)²

En sommant et en développant à gauche, sachant que sin² + cos² = 1

Soit, une équation du second degré à résoudre.

4R² = (H – 2R)² + (K – 2R)²

4R² – 4KR + H² + K² – 4HR = 0

Application numérique avec H = 16 et K = 20.
Seule la solution avec R le plus petit est compatible.

4R² – 144R – 656 = 0

R = 5,35089…   et  R = 30,649…

 

 

Rectangle et cercle tangent

Défi

On a un rectangle rose: H = 10 e K = 20.

Quel est le rayon du cercle tangent aux côtés prolongés et passant par le sommet opposé du rectangle ?

 

Calcul

R² = (R – H)² + (R – K)²

R² = R² – 2RH + H² + R² – 2RK + K²

R² – 2(H + K) R + H² + K² = 0

 

Application numérique

R² – 60R + 500 = 0
R = 50 et R = 10

 

La solution attendue pour R = 50.

Mais une seconde solution recevable avec R = 10, le petit cercle bleu. Solution évidente qui permet de vérifier le calcul.

 

 

Rectangle et cinq cercles

 

Sur cette figure déterminer le rapport H/K.

 

Dans le triangle rectangle AOB:
AO = K/2
OB = H/2 – R
AB = Rayon cercle vert + R = H/2 + R

Théorème de Pythagore:
(K/2)² + (H/2 – R)² = (H/2 + R)²
K²/4 – 2HR = 0
R = 1/8 K² / H

Sur le segment central vertical, sachant que BB' est le diamètre du cercle bleu = K:
H = K + 2R  => 2R = H – K

En remplaçant:

Division par H² et en posant x = K/H:

x = 0,8284…  ou – 4,8284…

Ce qui donne:

 

 

 

Intersection – Critère de détection

 

Un cercle coupe un rectangle si:

*      son centre est interne au rectangle, ou

*      si la distance de son centre à un des côté est inférieure au rayon.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Rectangle dans le cercle

*    Densité de disques

*    Empilement des sphères

Voir

*    Cercle

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*    Losange et son cercle inscrit

*    Sangakus

*    TriangleIndex

*    Triangles et carrés

Site

*    Circles within a rectangle – The Engineering TooBox – Calculateur en ligne

*    Circles and Semicircles in Rectangle – Cut-The-Knot

*    Archimedes Laboratory Project

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/CercRect.htm