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PRIORITÉ des OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES PEMDAS, BODMAS, PODMAS, BEDMAS,
BIDMAS La
priorité des opérations est rigoureuse comme nous
allons le voir. Les règles sont connues dès
la classe de cinquième. Les cas potentiellement ambigus sont résolus par l'emploi de parenthèses. Cependant, Internet
s'amuse à affoler
les internautes en demandant de résoudre certains de ces cas
pathologiques avec phénomène de propagation virale sur tout le Net … Autant
d'exemples qu'il est navrant d'offrir en pâture aux internautes, au risque de
leur brouiller l'esprit. |
Anglais: Order of operations or operator precedence / Viral math problem baffles mathematicians,
physicists
Quelques exemples typiques
Mise en bouche …
Pour une personne habituée la division par 11
est immédiate: 98 x 11 => (9) (9+8) (8)
Exemple de notation d'une suite
d'opérations arithmétiques
Notation à éviter à tout prix
Exemple de calcul de cette expression sur
une calculette classique
Suite en Étude
de cas pathologiques / Les
symboles de la division / Brève
54-1074
Les règles et exemples d'application
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Les
règles de priorités sont des conventions qui simplifient l'écriture des expressions
arithmétiques ou algébriques. Encore
faut-il qu'elles soient rigoureuses et sans risque d'ambiguïté. Note: la
règle de lecture gauche-droite semble
s'imposer sur une autre convention donnant la division prioritaire sur la
multiplication et la soustraction sur l'addition. Avec cette règle
gauche-droite la séquence logique d'introduction des opérations sur la
calculette est respectée. |
SANS PARENTHÈSES Règle (convention) n°1 Si dans
un calcul, il n’y a que des additions et des soustractions, alors on effectue
les opérations de gauche à droite. Règle (convention) n°2 Si dans
un calcul, il n’y a que des multiplications et des divisions, alors on
effectue les opérations de gauche à droite. Règle (convention) n°3 La
multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la
soustraction. Les
exposants (puissances et racines) sont prioritaires sur tout cela. AVEC PARENTHÈSES Les mêmes
règles s'appliquent en priorité à l'intérieur des parenthèses, en commençant
par les plus profondes. |
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Mnémotechnique des
priorités |
PEMDAS Parenthèses
et Exposants, puis
Multiplications, Divisions, Additions et Soustractions. En anglais, on trouve aussi BEMDAS avec le B pour
Bracket; Ou POMDAS, avec le O pour Order; Ou PIMDAS, avec le I pour Indices. |
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BILAN |
1. Les calculs contenus entre parenthèses (ou
crochets) sont prioritaires sur les calculs situés en dehors de ces
parenthèses. La barre d'une fraction ou d'une racine carrée joue le rôle
d'une parenthèse ; 2. Les exposants
sont prioritaires sur les multiplications, divisions, additions et
soustractions ; 3. Les multiplications et divisions sont
prioritaires sur les additions et soustractions; et 4. Lorsque les parenthèses sont effectuées,
lire les multiplications et divisions de gauche à droite. Ensuite, même chose
pour les additions et soustractions. |
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Conséquence
sur les puissances |
S'il pas
de confusion possible, le produit est noté ab
L'exposant
s'applique à la variable (lettre) immédiatement à gauche.
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Parenthèses
invisibles avec les fractions et les racines (convention évidente: les barres horizontales
font office de parenthèses) |
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UNICODES des symboles
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Multiplier
Multiplier Diviser |
Dans Word: faire insérer symbole et tapez ce
code
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Additions et soustractions seules Calculez
progressivement de la gauche vers la droite. Note: cette règle s'applique pour un calcul avec calculette.
Elle est souvent transgressée en calcul mental. Les calculs peuvent être
exécutés dans un ordre quelconque, à condition de respecter l'ordre des
soustractions. |
Calcul recommandé 10 + 2 – 5 + 3 – 6 + 2 = 12 – 5 + 3 – 6 + 2 = 7 + 3 – 6 + 2 = 10 – 6 + 2 = 4 + 2 = 6 |
Calcul rapide 10 + 2 – 5 + 3 – 6 + 2 = 10 + 0 – 6 + 2 = 4 + 2 = 6 Ne pas faire ! 10 + 2 – 5 + 3 – 6 + 2 10 + 2 – 8 – 8 |
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Multiplications et divisions seules Calculez
progressivement de la gauche vers la droite. Note: des
opérations locales simplifient le calcul. |
Calcul recommandé
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Calcul rapide
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Opérations mixtes Commencez
par calculer les multiplications et les divisions puis les additions et les
soustractions, toujours de la gauche vers la droite dans chaque cas. Note: avec une grande habitude, certains calculs
intermédiaires peuvent être réalisés simultanément. |
Calcul recommandé
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Calcul rapide
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Calcul recommandé
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Calcul rapide
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Avec des parenthèses Même
règles, mais calculez ce qui est dans les parenthèses en premier. En cas de
parenthèses emboitées, calculez les plus profondes en premier. |
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Avec des puissances et des racines Calculez
en priorité les puissances et les racines Tout en
respectant la règle des parenthèses. Notes: Les parenthèses isolent un groupe d'opérations
autonome, considérées comme formant un tout. Une fraction n'est rien
d'autres qu'une division, à traiter comme telle. |
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Quelle
est la hauteur atteinte en 2 secondes par une balle lancée à la verticale à 20
km/s ?
D'après Math is Fun |
À
propos de ces énigmes qui affolent le Net
comme 8/2(2+2) = 1 ou 16 ou "rien
car ambigu"
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On trouve des énigmes mathématiques sur Internet sous
ce vocable: Cette équation
va vous rendre complètement fou ! Les Anglo-Saxons parlent aussi de
problèmes viraux sur le Net ou de problèmes
qui affolent le Net. Disons tout de suite que vous ne
trouverez jamais une écriture aussi ambigüe dans un problème de mathématiques
au collège, ni ailleurs, sauf pour troubler les Internautes! Ces écritures
sont tout simplement incorrectes (ambigües) |
Anglais: What is the
correct answer? / Viral math
problem
Mise en bouche
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9 – 9 ÷ 9 + 9 – 9 ÷ 9 =
? = 9 – (9 ÷ 9) + 9 – (9 ÷ 9) = 9 – (1) + 9 – (1) = 16 |
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Voir explications en Diviser par une fraction
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Internet
propose régulièrement des exemples de calculs à réaliser suscitant la
controverse (Exemples ci-dessous). |
Pour les mathématiciens ces exemples sont ambigus et donc à proscrire. Mais quitte à leur donner une valeur, on appliquera la règle PEMDAS qui conduit à une valeur unique. |
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Commentaires |
La règle de priorité PEMDAS est de
bon secours dans la pratique et elle est d'ailleurs implémentée dans les
outils usuels de calcul (calculettes, tableurs, logiciels de calcul). Cependant, les mathématiciens la
réfutent et considèrent les cas pathologiques comme ambigus
et donc à bannir. On les rend explicites en introduisant des barres de fraction et des
parenthèses. Un professeur de Berkeley (George M. Bergman)
précise: "For
example, 48/2(9+3) = 24x12 = 288 or = 48/24 = 2 is ambiguous. There
is no standard convention as to which of these two ways the expression should
be interpreted" (Il n'y aucune règle admise précisant lequel de ces deux
résultats est le bon).
Christian Aebi
(CNRS) prétend que les manuels introduisant la règle PEMDAS ne sont pas
l'œuvre de vrais mathématiciens et que malheureusement Internet contribue à
propager cette règle qui ne contient pas "une once de vérité". Il est clair que ces cas délicats ne
doivent en aucun cas être proposés aux élèves. Il
est même navrant de les voir fleurir sur le Net. Pour l'exhaustivité de ce site, ci-dessous quelques exemples de ces cas pathologiques
proposés comme énigmes sur Internet. |
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CONCLUSION |
Cette
expression "a / bc" est
ambigu: aucune règle admise ne permet de lever cette ambigüité La règle
de calcul gauche-droite imposerait de
faire la division en priorité; alors que le bloc
multiplicatif ab suggère de conserver cette homogénéité en calculant
le produit en priorité. Cette
expression doit impérativement être remplacée par (a / b) c ou par a / (bc)
selon l'intention. Encore
mieux: utilisez les barres de fraction. |
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Le mot de la
fin par Cédric Villani |
À propos
de cette interrogation sur Internet (réponse: 16 ou 1):
aussi écrite: 8/2(2+2) = ? A franceinfo,
on s'est permis de soumettre le problème directement à Cédric
Villani, député de l'Essonne et mathématicien de renom. "Une
expression mathématique n'est bien écrite que s'il n'y a pas d'ambiguïté,
explique-t-il. Et ici, l'expression est ambigüe". Il prend
un exemple pour étayer son propos: C'est un peu comme si vous écriviez: "Je suis le professeur" et que
vous faisiez voter pour savoir si "suis" est le verbe
"être" ou le verbe "suivre". La bonne
réaction n'est pas de donner le résultat, dit Cédric Villani. Il faut plutôt
dire que l'expression est mal écrite et qu'il faut lever l'ambiguïté en
ajoutant des parenthèses, par exemple. Néanmoins,
la majorité des calculettes vous donneront:
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Mathématiquement
ambigus, mais réponse unique possible avec la
règle PEMDAS
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Calculez |
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Mise en œuvre de la règle de
la priorité
des opérations |
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Parenthèses: |
(1 + 2) = 3 |
6 |
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Exposants: |
aucun |
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Division: |
6 Priorité
de la gauche vers la droite |
3 x 3 |
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Multiplication: |
3 x 3 = 9 |
9 |
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Soustraction: |
aucune |
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Addition: |
aucune |
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Réponse: |
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Commentaires On évite toute ambiguïté en
écrivant, selon les opérations désirées: |
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Écriture
fractionnaire |
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Écriture
linéaire |
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Avec
Word, l'écriture linéaire est donnée automatiquement à partir de l'écriture
fractionnaire à l'aide d'un clic droit de la souris. Vos instruments de calcul vous
diront: Parfois,
le signe de la multiplication est spécifié par l'astérisque |
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Cet exemple, voisin du
précédent, inonde le Net en août 2019. "Ce problème mathématique donne le tournis aux internautes,
saurez-vous résoudre cette équation ?" |
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Parenthèses: |
(2 + 2) = 4 |
8 |
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Exposants: |
aucun |
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Division: |
8 Priorité
de la gauche vers la droite |
4 x 4 |
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Multiplication: |
4 x 4 = 6 |
16 |
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Soustraction: |
aucune |
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|
Addition: |
aucune |
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Réponse: |
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Plus
mathématique: |
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Calculez: |
8 / 2 (3
+ 1) = 16 |
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Le résultat est 16, mais
est-ce la seule possibilité? Oui!
Pourquoi? |
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Classiquement
la multiplication est indiquée
par "x" ou le point ou rien. Ici, le signe multiplié est
sous-entendu: |
8 / 2 x (3 + 1) |
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Le
calcul entre parenthèse est prioritaire: |
8 / 2 x 4 |
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|
Ensuite
vient la division: |
4 x 4 |
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|
Enfin
la multiplication: |
16 |
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Pour éviter toute ambiguïté,
on écrirait plutôt: |
(8 / 2) (3 + 1) |
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|
Qui,
en calculant les parenthèses, donne bien: |
4 x 4 |
||
|
Ou
meilleure écriture: |
|
||
|
Selon
l'intention, on aurait pu écrire: |
8
/ (2(3 + 1)) = 8 / (2 x 4) = 8 / 8 = 1 |
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|
Toujours
meilleure écriture: |
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|
Que disent nos instruments de
calcul: |
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= |
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Calculez: |
|
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Le résultat est 58, mais
est-ce la seule possibilité? Oui!
Pourquoi? Remarque:
la parenthèse ne joue pas son rôle habituel (indiquer une opération à
effectuer DANS les parenthèses). Ici, elle a un usage inhabituel, et non
recommandé, signifiant multiplication. Calcul avec mise en œuvre de
la règle de la priorité des opérations: |
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Priorité
aux calculs dans les parenthèses: |
Néant |
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Mais,
interprétation de la parenthèse: |
62 / 2 x
3 + 4 |
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Puis
calcul des puissances: |
36 / 2 x 3 + 4 |
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La
division (car la première de gauche à droite) |
18 x 3 + 4 |
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La
multiplication: |
54 + 4 |
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En
enfin, l'addition: |
58 |
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Ce
que dit un logiciel de calcul (Maple): |
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Un calcul incorrect
consisterait à croire que la parenthèse, telle que mentionnée, implique un
calcul prioritaire: |
6² / 6 + 4 |
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Puis
division prioritaire |
6 + 4 = 10 |
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Bilan
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Même
si les écritures proposées dans ces énigmes calculables d'une certaine
manière, mieux vaut éviter les pièges et faciliter la compréhension en
utilisant des symboles plus explicites. Je
vous laisse faire le parallèle avec cette phrase en français: Il a vu un homme avec
des jumelles.
Qu'a-t-il vu? ·
à
l'aide de ses jumelles: un homme, ·
de
ses yeux nus: un homme qui portait des
jumelles. ·
Ou
même: il a vu un homme accompagné de deux filles, des jumelles. Anglais: "This is like a maths
version of the sentence "He fed her
cat food". Does it mean the man gave some
food to a cat? Or he fed some cat food to a woman. Hannah Fry,
an associate professor in the Mathematics of Cities at the
Centre for Advanced Spatial Analysis at University College London |
Voir Les
problèmes qui affolent le Net / Puzzles et énigmes
Les calculettes ne sont
pas toujours d'accord ! Alors, prudence.
|
Suite |
· Somme
1 + 2 + 3 + … = 1/12 (?) |
|
Junior |
|
|
Voir |
· Exercices
d'entrainement et d'évaluation ·
Jeux ·
Partition des nombres de 1 à 10 · Sommes
particulières de consécutifs · Table
d'addition des volumes circulaires |
|
· Ordre des
opérations – Wikipédia · Le
calcul qui divise : 6÷2(1+2) – Micmaths – Michaël Launay – Vidéo (y accéder en copiant ce texte dans votre moteur
de recherche) ·
Order of
operations – BODMAS – Maths is Fun
· Une
nouvelle convention de calcul ? – Christian Aebi – CNRS Images des
mathématiques ·
Order of
arithmetic operations; in particular, the
48/2(9+3) question. |
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Cette
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