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Nombres IDONÉAUX Numerus idoneus d'Euler Suitable, convenient* numbers Notion
avancée de la théorie des nombres impliquant la relation: N = x² + Dy² avec D comme nombre idonéal. Euler constate qu'un nombre
est premier s'il est exprimable qu'une seule fois sous cette forme. Il s'agit de factorisation
des nombres par utilisation de formes quadratiques binaires (ax²
+ bxy + cy²). * Traduction: nombre
pratique, mais ce nom est déjà utilisé pour les nombres
pratiques (practical numbers). |
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Un nombre
premier impair peut s'écrire comme la somme de deux carrés si
Ou
encore:
L'idée est de généraliser ces relations avec un
coefficient quelconque. Le coefficient sera nommé numerus
idoneux par Euler. On les connait aussi sous le nom de convenient numbers (nombres pratiques) |
Fermat
à partir de 1640. C'est Euler,
à partir de 1750, qui démontrera ces propriétés en utilisant la méthode de la
descente infinie de Fermat. |
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Nombre
entier positif D tel que tout entier N est
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Ces nombres sont générateurs de suites infinies de nombres composés et aussi de suites de
nombres premiers. |
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Définition selon Euler: Soit m
>1 un nombre impair premier avec n et qui peut s'écrire sous la forme m =
x² + ny², avec x et y premiers entre eux et positifs non nuls. Si cette équation
a une seule solution, alors m est premier. |
Type et liste connus d'Euler et de Gauss. Par exemple Euler donne: 18 518 809 = 197² + 1 848 x 100² Euler utilisa cette notion pour découvrir de très grands nombres
premiers (>107). |
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Il y a 65
nombres idonéaux si on admet l'hypothèse généralisée
de Riemann et, au maximum, un de plus, sinon. |
Chowla a montré qu'ils étaient en nombre fini. |
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1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9,
10, 12, 13, 15, 16,
18, 21, 22, 24, 25,
28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105,
112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312,
330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, et 1848 Euler a prouvé que les cinq premiers carrés sont les seuls nombres
idonéaux carrés. Les idonéaux premier: 2, 3, 5, 7, 13 et 37. |
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