Nombres de Coster

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Nombres de COSTER

Nombres égaux à leurs chiffres calculés, deux fois. Cousins des nombres de Friedman, égaux à leurs chiffres calculés une fois.

Historique: Ces nombres ont été introduit en 2006 comme énigme dans le journal hollandais "Pythagoras", d'après une idée d'un de ses rédacteurs nommé Matthijs Coster, d'où le nom de la suite.

Anglais: Coster Numbers / Néerlandais: Costergetallen

Nombres de Coster

Définition

Un nombre de Coster est un entier qu'on peut recalculer en utilisant deux fois tous les chiffres du nombre, ainsi que les opérations +, -, * et :, ainsi que ( ) .

Remarquez qu'il y a une certaine ressemblance avec les nombres de Friedman, mais le type des opérations autorisées est plus limité.

Règles

1. Il faut utiliser tous les chiffres sans exception exactement deux fois dans un ordre quelconque;

2. Des opérations comme racine carrée, factorielle, exposant,... ne sont pas autorisée.
Ex: 24 = 4! + (4 - 2 - 2) est interdit; et,

3. Concaténer des chiffres pour former un nombre n'est pas permis.
Ex: 34 = 33 + 4/4 est interdit.

Nombres de Coster de 0 à 199

Nombres de Coster à 1 chiffre

Ils sont 2 seulement: 0 et 1.

Nombres de Coster à 2 chiffres

Ils sont 36 à se conformer à la règle de formation: 25 réguliers et, au moins, 11 supplémentaires non-réguliers.

Motifs réguliers

Un nombre à deux chiffres s'écrit: n = 10d + u.

On peut reformer cette configuration des trois manières suivantes:

Liste des nombres de Coster de 0 à 199.

En bleu: trois nombres consécutifs au moins.

0, 1,

13, 14, 15,

18, 19, 24, 25, 26, 28, 29,

35, 36, 37,

39, 45, 46, 48, 49, 52, 55, 59,

64, 65, 66,

69, 73, 75, 78, 79, 81, 82, 85, 89, 91, 95, 99,

125, 126, 127, 128, 129,

134, 135, 136, 137, 138,

143, 144, 145, 146, 147, 148, 149,

152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159,

162, 163, 164, 165,

167, 168, 169,

172, 173, 174, 175, 176,

178, 179,

182, 183, 184, 185, 186,

189,

192, 193, 194, 195, 196, 197,

199

Quantité

Il y en a une infinité dont 89 jusqu'à 199.

Liste selon type avec présentations multiples

Liste développée pour les nombres de 1 à 199

Source Prijsvragen van Pythagoras – Matthijs Coster - 2008

Nombres à plus de deux chiffres

Exemples

144 = 4 x 4 x (4 – 1) (4 – 1) = 16 x 9

193 = 1 + (9 – 1) (9x3 – 3) = 1 + 8 x 24

256 = (2x5 + 6) (2x5 + 6) = 16²

59 049 = 9 x 9 x 9 x 9 x (5 + 4) (5 – 4) + 0 + 0 = 9⁵

127 750 = 5 x 5 x 7 x 2 (7 x (7x7 + 2 + 1) + 1) + 0 + 0

= 175 x 2 7 x 52 + 1)

= 175 x 2 x 365

Motifs infinis

45 = (4 + 4) x 5 + 5 = 8 x 5 + 5 = 40 + 5

4545 = 5 x (4+5) x (4 x 5 x 5 + 4/4)

= 5 x 9 x (100 + 1) = 45 x 101

454545 = 5 x (4+5) x ((4 x 4 x 5 x 5 + 4) x 5 x 5+4/4)

= 5 x 9 x (404 x 25 + 1) = 45 x 10 101

45454545 = 5 x (4+5)

x (((4 x 4 x 5 x 5 + 4) x 4 x 5 x 5 + 4) x 5 x 5 + 4/4)

= 45 x ((404 x 100+4) x 25 + 1)

= 45 (40404 x 25 + 1)

= 45 x 1 010 101

Propriétés de ces nombres en 45

Point de départ du calcul des formules itératives ci-dessus.

Autre motif de David de Kloet

Exemples

Pour n = 1 => 889 555 556

Pour n = 2 => 888 889 555 555 555 556

Pour n = 3 => 888 888 889 555 555 555 555 555 556

Développement pour n = 2

Soit: 7 "8" pour dix; 19 "5" pour 22, 2 "9" pour 2; et, 1 "6" pour 2.

L'astuce consiste à ajouter 0 avec une expression contenant la quantité nécessaire de chiffres, comme:

Source: Livre Special Cases of Coster Numbers (entrez cette phrase dans un moteur de recherche)
D'autres propriétés y sont analysées

Merci à Jos Heynderickx pour sa contribution à la rédaction de cette page

Suite	Auto-nombres Nombres de Friedman Faire tous les nombres avec quatre 4
Voir	Chiffres en miroir Factorielle Magie avec les nombres – Index Motifs Nombres en 4 fois 4 Procédé de Kaprekar Puzzles – Index Somme et produit des chiffres
DicoNombre	Nombre 13 Nombre 15 Nombre 45
Livre	Coster numbers – Chapitre du livre: Half a Century of Pythgoras Magazine – Alex Van Den Brabdhol, Jan Guichelaar, Arnout Jaspers – 2015 – Chapitre accessible sur Internet
Sites	OEIS A106007 – Coster numbers: similar to Friedman numbers (A036057), but here the operations + - * / are allowed. All digits of a number have to be used exactly twice. De Coster–getallen, de Pythagoras prijsvraag - Matthijs Coster Coster Gestallen – 2006 – Néerlandais Pythagoras – April 207
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Coster.htm