NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Croisements – Courbes (1/2)

Croisements – Graphes

Croisements – k-sécantes (2/2)

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Avec un deuxième croisement

 

 

 

 

 

 

COURBES k-sécantes

Dénombrement

 

Nous avons identifié tous les cas de courbes qui se croisent deux fois. Nous allons tenter de formaliser l'approche avec l'espoir d'une généralisation à k intersections.

 

Exemples de courbes k-sécantes

 

 

Théorème de Jordan

On ne peut plus simple, voire évident, mais extrêmement difficile à démontrer.

Ligne de Jordan: une ligne continue et fermée dans le plan, sans croisement.

Théorème de Jordan: une ligne de Jordan découpe le plan en deux parties: une partie intérieure et une partie extérieure.

 

Critère du chemin: un chemin qui part de l'intérieur et arrive à l'extérieur coupe la courbe un nombre impair de fois. Sur l'illustration, le point rouge est à l'extérieur car le chemin vert coupe deux fois (pair) la courbe.

Voir Théorème de Jordan

 

 

 

 

Définition

Une courbe k-sécante est une ligne courbe de l'espace qui, projetée sur un plan, se croise k fois.

Elle crée k intersection en croix, comme une ficelle lâchée sur le sol.

 

L'intersection représentée par une croix droite pointe dans quatre directions symbolisée par les lettres G, D, H et B.

 

Intersection – Orientations

Une courbe se croisant une fois est définie par la direction d'entrée et celle de sortie, plus le sens de formation de la boucle.

 

On commence la boucle par un mouvement vers le bas (B). Les autres départs s'en déduisent par simple rotation.

Ensuite la boucle part dans le sens horaire (+) ou antihoraire (-) pour aller rattraper la direction transverse dans un sens (droite) ou dans l'autre (gauche). Soit quatre possibilités.

En fait, posée sur une table en verre, les boucles montrées sur la gauche de l'illustration sont les mêmes que celles de droite. Elles sont superposables et identiques en topologie (symétrique par rapport à une droite).

On conserve comme modèle de base les deux figures de gauche en privilégiant le sens horaire.

 

Les quatre boucles élémentaires dont deux sont à retenir

 

Une courbe avec une intersection crée une boucle qui définit un intérieur et un extérieur.

Ici, les points de départ et arrivée sont tous deux intérieurs ou extérieurs.

 

 

 

Avec un deuxième croisement

Cas de la boucle élémentaire du haut à laquelle on ajoute la même boucle en sortie.

 

Deux cas sont possibles: la deuxième boucle est horaire ou antihoraire.

 

 

B+D = D+H      &    B+D = D–B      

Cas de la boucle élémentaire du haut à laquelle on ajoute la boucle du bas en sortie.

 

Deux cas sont possibles: la deuxième boucle est horaire ou antihoraire.

 

B+D = D–H      &    B+D = D+B      

 

 

 

EN COURS

 

 

 

 

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Sites

Rien sur le sujet de cette page, voir néanmoins:

*    Méandre (mathématiques) – Wikipédia

*    Une approche de la théorie des graphes

*    Crossing number – Adam Sheffer

*    Crossing numbers (graph theory) – Wikipedia

*    Crossing and planarization

*    Turán's brick factory problem – Wikipedia

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