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Suites de FAREY et Cercle de Ford |
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Lester
Ford
(1886-1967), mathématicien américain. John Faret (1766-1826),
géologue anglais. |
Une idée
des cercles de Ford
Source
image: Ford Circle
Exemple
de ces fractions
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Principe du tracé Avec les fractions de Farey, on peut obtenir une figure bien étrange,
symétrique et de caractère fractal. On dessine les cercles de
caractéristiques suivantes => |
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Cercles de Lester R. Ford (1938) |
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Propriétés |
Les cercles ne se coupent jamais. Ils sont tangents les
uns à d'autres. Ceci s'explique par la propriété: a/c, b/d et nouvelle
fraction intermédiaire (a+b) / (c+d). En augmentant l'ordre de la suite de
Farey d'autres cercles s'intercalent ceci, jusqu'à l'infini. Les points de tangence représentent
toutes les fractions possibles, soit tous les nombres rationnels. |
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Note |
Quand on pense que ces points de
tangence, en nombre infini, ne couvrent pas tous les points de la droite. Il
y encore de l'espace pour une infinité
de nombres irrationnels dans les
interstices. Chaque cercle est tangent à une infinité de cercles. |
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Illustration Ordre 7 de 1/2 à 1 |
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Vue artistique avec tracé du symétrique vers le bas |
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Soit deux fractions de Farey p/q et P/Q |
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Si les deux cercles sont de
Farey/Ford, ils sont tangents. On suppose qu'ils sont tangents et
on montre que les deux fractions sont deux fractions successives de
Farey. |
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Horizontal |
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Vertical |
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Oblique (R + r) |
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Pythagore |
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Calculs |
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Bilan |
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Cercle de Farey |
On
retrouve la propriété des fractions
successives de Farey |
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Merci à Vincent Lesbros
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