Nombres premiers - circulaire ou à permutations

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/11/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres premiers PERMUTABLES

ou CIRCULAIRES ou ROBUSTES

Toutes les permutations des chiffres du nombre forment des nombres premiers. Aussi appelés: premiers absolus.

Les PREMIERS (PRIME) qui restent premiers en les retournant (lecture de droite à gauche; épelés à l'envers) sont des EMIRP ou REIMERP (en français) >>>

Anglais: Permutable prime numbers

Nombres premiers PERMUTABLES

ou CIRCULAIRES ou ROBUSTES

Définitions

Premiers permutables: nombre premier qui reste premier par permutation circulaire de ses chiffres.

Premier presque permutables: toutes les permutations sont des nombres premiers, sauf une.

Au-delà de 991, les seuls premiers robustes sont des repunits (entiers composés de 1). On ne sait pas s'il en existe des robuste hors repunit supérieurs à 991.

Exemples de premiers permutables

13, 31

17, 71

37, 73

79, 97

Cinq nombres de deux chiffres dont toutes les combinaisons des chiffres sont des nombres premiers.

113,

131 & 311

199,

919 & 991

337,

373 & 733

Trois nombres à trois chiffres dont toutes les combinaisons des chiffres sont des nombres premiers.

Les quatre permutables à deux chiffres (hors le repdigit 11) sont aussi Emirp.

Coquetterie pour le couple (37, 73) qui permutent aussi leur rang en tant que premiers (12, 21).

Exemple avec les deux nombres à quatre chiffres:

En jaune ses permutations circulaires.

En dessous, les huit autres permutations.

En rose, les nombres composés.

Voir Nombres retournés et premiers

Propriétés

L'unité d'un permutable n'est jamais un chiffre pair; c'est le cas aussi du chiffre le plus significatif (le chiffre de tête).

La quantité de nombres premiers circulaires à n chiffres tend vers zéro quand n tend vers l'infini – Non démontré.

Les Repunit – nombres formés de 1 seulement – premiers sont, trivialement des nombres premiers circulaires.
On n'en connaît que 5: R2, R19, R23, R317 et R1031.

LISTE et records
Longueur 1 031 Total = ?	R1031	Rep-unit 1 031 = (10^{1 031} - 1)/9
Longueur 317 Total = ?	R317	Rep-unit 317 = (10³¹⁷ -1)/9
Longueur 23 Total = ?	R23	11 111 111 111 111 111 111 111
Longueur 19 Total = ?	R19	1 111 111 111 111 111 111
	*Autres: voir site de De Geest*
Longueur 10 Total = 0	Rien !
Longueur 9 Total = 0	Rien !	33 191 nombres premiers candidats
Longueur 8 Total = 0	Rien !	9 177 nombres premiers candidats
Longueur 7 Total = 0	Rien !	2 709 nombres premiers candidats
Longueur 6 Total = 2	193 939, 199 933	757 nombres premiers candidats
Longueur 5 Total = 2	11 939, 19 937	249 nombres premiers candidats
Longueur 4 Total = 2	1193, 3779	63 nombres premiers candidats
Longueur 3 Total = 3	113, 199, 337	30 nombres premiers candidats
Longueur 2 Total = 5	R2 = 11, 13, 17, 37, 79	10 nombres premiers candidats
Longueur 1 Total = 4	2, 3, 5, 7

EMIRP jusqu'à 10 000

Un premier REIMERP ou EMIRP (premier ou prime épelés à l'envers) sont des nombres premiers qui restent premiers en les retournant, comme 13 et 31.

Chacun de ses nombres premiers trouve son double retourné dans cette liste (exemple avec les premiers en rouge). Ils sont 1 229 sans compter les repdigits (exclus de la définition).

13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97,

107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 907, 937, 941, 953, 967, 971, 983, 991,

1009, 1021, 1031, 1033, 1061, 1069, 1091, 1097, 1103, 1109, 1151, 1153, 1181, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1279, 1283, 1301, 1321, 1381, 1399, 1409, 1429, 1439, 1453, 1471, 1487, 1499, 1511, 1523, 1559, 1583, 1597, 1601, 1619, 1657, 1669, 1723, 1733, 1741, 1753, 1789, 1811, 1831, 1847, 1867, 1879, 1901, 1913, 1933, 1949, 1979, 3011, 3019, 3023, 3049, 3067, 3083, 3089, 3109, 3121, 3163, 3169, 3191, 3203, 3221, 3251, 3257, 3271, 3299, 3301, 3319, 3343, 3347, 3359, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3433, 3463, 3467, 3469, 3511, 3527, 3541, 3571, 3583, 3613, 3643, 3697, 3719, 3733, 3767, 3803, 3821, 3851, 3853, 3889, 3911, 3917, 3929, 7027, 7043, 7057, 7121, 7177, 7187, 7193, 7207, 7219, 7229, 7253, 7297, 7321, 7349, 7433, 7457, 7459, 7481, 7507, 7523, 7529, 7547, 7561, 7577, 7589, 7603, 7643, 7649, 7673, 7681, 7687, 7699, 7717, 7757, 7817, 7841, 7867, 7879, 7901, 7927, 7949, 7951, 7963, 9001, 9011, 9013, 9029, 9041, 9103, 9127, 9133, 9161, 9173, 9209, 9221, 9227, 9241, 9257, 9293, 9341, 9349, 9403, 9421, 9437, 9439, 9467, 9479, 9491, 9497, 9521, 9533, 9547, 9551, 9601, 9613, 9643, 9661, 9679, 9721, 9749, 9769, 9781, 9787, 9791, 9803, 9833, 9857, 9871, 9883, 9923, 9931, 9941, 9967.

Les suivants: 10 007, 10 009, 10 039 …

Voir Nombres premiers et retournés – Table

Programmation – Nombres premiers Emirp

On ouvre une liste vide (L).

Recherche des premiers permutables de 1 à 200 que si n est un nombre premier.

Après conversion, N est la liste des chiffres de n.

Addition pondérée par la puissance de 10 qui va bien pour obtenir le retourné de n en m. L'instruction add agit comme une boucle avec les valeurs de i successives de 1 à q; q étant la quantité de chiffres (nops) dans L.

Si m, le retourné de n, est premier, on introduit n dans la liste L. Ici, nous avons fait le choix de mentionner aussi m. Le fait de mettre des accolages { } indique que les doublons doivent être éliminés (liste de type ensemble).

En fin de condition "si premier" et en fin de boucle, on imprime la liste.

Voir Programmation des permutations / Programmation – Index

Voir	Palindrome Nombres composés durs Nombres multi-premiers Types de nombres – Index Nombres premiers – Index Permutations – Index
Aussi	Liste de nombres premiers Décomposition des nombres Nom des nombres Nombres à motifs Nombres composés Représentation des nombres
Site	Pour dossier complet: voir site de Patrick De Geest
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/circulai.htm