théorie des nombres - identification des diviseurs d'un nombre

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DIVISEURS d'un NOMBRE

Facteurs et diviseurs / Facteurs premiers / Diviseurs propres

Ne pas confondre ces notions.

Où il est question du Théorème fondamental de l'arithmétique.

Avec cette page, on apprend à identifier les diviseurs des nombres.

Les pages suivantes, bâties sur le même modèle, montreront comment calculer la quantité de diviseurs, leur somme, et leur produit.

Voir Diviseurs – Tables

FACTEURS & DIVISEURS

Théorème fondamental de l'arithmétique (TFA)

Tout nombre entier naturel est décomposable de façon UNIQUE

en produit de ses facteurs premiers, sans compter les permutations.

Anglais: fundamental theorem of arithmetic, unique factorization theorem or unique-prime-factorization theorem. Allemand: Primfaktorzerlegung (Zerlegung = décomposition).

Exemple

Le nombre factorielle 10 = 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800

est en fait le produit des facteurs premiers: 2⁸ x 3⁴ x 5² x 7

Passage du produit aux facteurs premiers

Voir Liste des facteurs des nombres / Démonstration de ce théorème

Facteurs premiers	Diviseurs
Atomes des nombres. Élément de base des nombres. Composition unique (TFA). Incroyable: chaque nombre est caractérisé par cette combinaison. C'est son empreinte digitale.	Combinaison des atomes qui divisent le nombre. Ce sont tous les produits possibles des facteurs premiers entre eux. Les diviseurs sont plus nombreux que les facteurs premiers.
Exemple 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3	12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12
12 possède 2 facteurs premiers	Il a 6 diviseurs

Voir Facteur et diviseurs – Définitions

Pour préciser le vocabulaire

Facteurs ou diviseurs premiers

Sans autre indication, facteurs signifie:

facteurs premiers.

On utilise parfois le vocable: diviseurs premiers.

Exemple avec le nombre15

Facteurs premiers: {3, 5}

Facteurs: {3, 5}

Diviseurs premiers: {3, 5}

Le produit des facteurs est appelé radical du nombre.

Rad(15) = 3 x 5 = 15; Rad(12) = 2 x 3 = 6

Diviseurs et diviseurs propres

Sans autre indication, diviseurs signifie diviseurs, y compris le nombre.

Sinon on précise: diviseurs propres, excluant le nombre lui-même

Exemple avec le nombre15

Diviseurs (15) = {1, 3, 5, 15}

Diviseurs propres (15) = {1, 3, 5}

Nombres arithmétiques

Définition

Nombre dont la moyenne des diviseurs est un nombre entier.

Nombre dont la somme des diviseurs (sigma) est divisible par la quantité (tau) de diviseurs:

Exemple: Div(2 019) = {1, 3, 673, 2 019} => Moyenne = 2 696 / 4 = 674

Liste: 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 101, 102, 103, 105, 107, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 116, 118, 119, 123, 125, 126, 127, 129, 131, 132, 133, 134, 135, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 145, 147, 149, 150, 151, 153, 154, 155, 157, 158, 159, 161, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 173, 174, 177, 179, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 193, 195, 197, 198, 199, 201, 203, … Suite voir liens

Nombre premier

Nous savons qu'un nombre premier p n'est divisible que par 1 et lui-même.

On remarque vite que les diviseurs d'un nombre premier sont: 1 et p.

On adopte la présentation ci-contre qui va nous permettre de considérer des cas de plus en plus généraux en utilisant une procédure quasi automatique.

Illustration

7 = 1 x 7

Div =

Formalisation

p = 1 x p

Div =

Exemples

*Nombre*	*Facteurs*	*Diviseurs*
11 =	1 x 11	1 , 11
13 =	1 x 13	1 , 13
101 =	1 x 101	1 , 101
1 009 =	1 x 1 009	1 , 1009

Produit de deux facteurs premiers

Jusque là, identifier les diviseurs, c'est facile!

Pour 6 = 2 x 3, on a: {1, 2, 3, 6}.

Pour P = A.B, on a: {1, A, B, A.B}.

Quantité de diviseurs:

Avec les nombres premiers: il y en a 2.

Et avec les nombres, produits de deux facteurs premiers: il y en a 4.

Illustration

6 = 2 x 3	Div =	1	3
		2	6

Formalisation

n =	Div =	1	1 .B
A. B		A	A .B

Exemples

*Nombre*	*Facteurs*	*Diviseurs*
10 =	2 x 5	1, 2, 5, 10
14 =	2 x 7	1, 2, 7, 14
15 =	3 x 5	1, 3, 5, 15
22 =	2 x 11	1, 2, 11, 22

Puissances

Avec les puissances de nombres premiers, on va trouver plus de diviseurs.

En fait autant que de puissances de 0 à la puissance maximale a, soit a + 1 diviseurs.

Illustration

8	Div =	1
= 2³		2
		4
		8

Formalisation

n = A^a	Div =	1
n = A^a		A
		A²
		…
		A^a

Exemples

*Nombre*	*Facteurs*	*Diviseurs*
16	= 2⁴	1, 2, 4, 8, 16
125	= 5³	1, 5, 25, 125
16 807	= 7⁵	1, 7, 49, 343, 2 401, 16807
285 311 670 611	= 11¹¹	1, 11, 121, 1331, …

Produit de puissances

Avec les puissances de nombres premiers, les diviseurs sont:

le 1, et

toutes les puissances successives du nombre A, A²,…Aa

Avec un produit de puissances, ce sont les mêmes, combinés avec le nouveau facteur et ses puissances:

1, A, A²,…A^a

1xB, A.B, A².B,…A^a. B

1xB², … Suite sur le tableau.

Illustration

200	Div =	1	5	25
= 2³ . 5²		2	10	50
		4	20	100
		8	40	200

Formalisation

n = A^a . B^b	Div =	1	1 x B	1 x B²
n = A^a . B^b		A	A x B	A x B²
		A²	A² x B	A² x B²
		A³	A³ x B	A³ x B²

Exemples

*Nombre*	*Facteurs*	*Diviseurs*
36	= 2² . 3²	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
72	= 2³ . 3²	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
144	= 2⁴ . 3²	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144
100	= 2² . 5²	1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
1 000	= 2³ . 5³	1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000

Cas général

Exemple et idée de disposition des nombres pour les trouver tous

9 800 =	2³	. 5²	. 7²	*Diviseurs*
	2³			1, 2, 4, 8
		5²		1, 5, 25
			7²	1, 7, 49

On cherche d'abord les diviseurs du premier bloc de facteurs

8	Div =	1
= 2³		2
		4
4 diviseurs		8

Avec le deuxième bloc de facteurs

200	Div =	1	5	25
= 2³ . 5²		2	10	50
4 x 3 = 12 diviseurs		4	20	100
4 x 3 = 12 diviseurs		8	40	200

Avec le troisième bloc de facteurs

Cette disposition semble pratique pour identifier TOUS les diviseurs.

On peut les compter facilement et, même en faire la somme.

Voyons cela, et essayons de trouver les lois générales.

Vous serez épatés de réaliser que c'est assez simple.

9 800	Div =	1	7	49
= 2³ . 5² . 7²		2	14	98
12 x 3 = 36 diviseurs		4	28	196
		8	56	392
		5	35	245
		10	70	490
		20	140	980
		40	280	1 960
		25	175	1 225
		50	350	2 450
		100	700	4 900
		200	1 400	9 800

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Site	OEIS A003601 – Numbers n such that the average of the divisors of n is an integer Arithmetic number – Wikipedia Arithmetic numbers – Numbers Aplenty
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/DivVal.htm