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Imaginaire Jeux et magie Kilo

Logique Multiplication

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I	Imaginaire	Les mathématiciens ont créé un outil magique, en inventant le symbole i qui élevé au carré donne -1 Eh, oui, une valeur négative ! Il fallait oser Cette opération est normalement impossible Elle donne un résultat imaginaire Cette astuce a au moins deux grandes applications - Prendre un chemin détourné pour résoudre plus facilement des équations Le principe consiste à faire des calculs en trimbalant des valeurs imaginaires qui facilitent les opérations, mais qui disparaissent à la fin des calculs - Former des nombres à deux composantes que l'on peut représenter sur un système d'axes par un point M une composante "réelle" a qui se place sur l'axe des x une composante "imaginaire" b qui se place sur l'axe des y Le nombre ainsi former a + ib est appelé nombre complexe	Convention de mathématiciens i x i = -1 Qui peut se noter également i² = -1 - i² = 1 Équivalence Tout comme 4 = 2 x 2 permet d'écrire 4 = 2 Puisque -1 = i x i On peut écrire -1 = i Comment une expression "imaginaire" devient "réelle" (2 + i) (2 - i) = 2 (2 - i) + i (2 - i) = 4 - 2i + 2i + i (-i) = 4 – i² = 4 + 1 = 5 Représentation du nombre complexe a + ib et son image le point M
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Lorsque les mathématiques s'appliquent à la réalité, elles ne sont pas certaines. Lorsqu'elles sont certaines, alors elles ne s'appliquent plus à la réalité - Einstein

Pensées et Humour

J

Jeux et magie

Les nombres se prêtent à de nombreux jeux et facéties, parfois qualifiées de magique.

Ce site, conçu d'abord pour satisfaire sa curiosité en s'amusant comporte de nombreuses rubriques de jeux et énigmes:

Pépites numériques

Magie des nombres

Carrés magiques

Formes étonnantes des nombres

Les nombres par leur nom de famille

Jeux et énigmes

Pensées et humour

Carré magique d'ordre 3

Somme sur lignes, colonnes, et diagonales = 15

6	1	8
7	5	3
2	9	4

Configuration remarquable: exemple

3² + 4² = 5²

3³ + 4³ + 5³ = 6³

J'ai acheté deux gobelets. L'un marqué MOI et l'autre TOI. Rentré à la maison la dispute éclate aussitôt, chacun voulant le gobelet MOI

K	Kilo	Que vient faire le kilo ici ? Peser des choux? Pour tout le monde kilo signifie 1 000 1 km = 1 000 m NB: 1 kilo de blé est un raccourci populaire pour 1 kilogramme de blé Pour les informaticiens kilo correspond à 1 024 1 koctet = 1024 octets octet: mot de 8 bits; byte en anglais Notant l'absence générale de confusion, il n'a pas été jugé nécessaire d'inventer un autre mot pour le kilo des informaticiens	Pour tous 1 kilo = 1 000 = 10^3 = 10 x 10 x 10 Notez: "kilo" en abrégé s'écrit k avec un petit k: km, kg, kV, kW … (même si certains traitements de texte persistent à y trouver une faute d'orthographe!) Pour retenir: souvenez-vous que Monsieur Kilo n'existe pas! Pour les informaticiens 1 kilo = 1 024 = 2^10 = 2 x 2 x 2 …10 fois
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Vous auriez dû rapprocher la gare du centre ville.
- Ouais, mais elle aurait été loin des rails !

L

 Logique

Vous connaissez les tables d'addition et de multiplications

Les logiciens en ont inventés des variantes

- Mais limitées au seul 1 et 0 (binaire) qui pour eux symbolisent le vrai et le faux

- Il s'agit alors de combiner le vrai et le faux selon diverses opérations

Le tableau donnant les résultas est appelée table de vérité

La table du ET ressemble à la table de multiplication

0 x 0 = 0; 0 et 0 donne 0

0 x 1 = 0; 0 et 1 donne 0

1 x 0 = 0; 1 et 0 donne 0

1 x 1 = 1; 1 et 1 donne 1

La table du OU ressemble à la table d'addition

0 + 0 = 0; 0 ou 0 donne 0

0 + 1 = 1; 0 ou 1 donne 1

1 + 0 = 1; 1 ou 0 donne 1

1 + 1 = 1; 1 ou 1 donne 1

À une exception prêt, l'addition engendre une retenue 1 + 1 = 10 en binaire alors que 1 o u 1 donne simplement 1

Symbolisme des logiciens

1 = vrai

0 = faux

Opération ET

La proposition

A et B n'est vraie que

si A est vraie et

si B est vraie

Logique non!

La table de vérité

ET	F	V
F	F	F
V	F	V

Ou, aussi

ET	0	1
0	0	0
1	0	1

Opération OU

La proposition

A ou B est vraie dès que

A est vraie ou

B est vraie ou

les deux sont vraies

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Soyez aimable avec ceux que vous rencontrez pendant que vous montez, vous les retrouverez en descendant.

M

Multiplication

La multiplication n'est jamais qu'une convention d'écriture pour indiquer qu'une addition est répétée

- Les quantités multipliées sont appelées les facteurs de la multiplication et le résultat, le produit

- La multiplication est notée

X pour les chiffres: 3 x 4

. pour les lettres : a . b

et, aucun signe, lorsqu'il n'y a pas de confusion :
3a, ab, a(b+c), (a+b) (c+d)

Règles de multiplication
Pour multiplier une somme par un nombre, il faut multiplier chaque terme de la somme et ajouter

(a + a') B = a . B + a' . B

- Pour multiplier une somme par une somme, il faut multiplier chaque terme de l'une par chaque terme de l'autre et ajouter:

(a + a') (b + b')
= a (b + b') + a' (b + b')
= a . b + a . b' + a' . b + a' . b'

Une multiplication peut être décomposée en sommes:

L'un des facteurs A est partagé en une somme de plusieurs termes A = a + a'

Chaque terme a et a' est multiplié par l'autre facteur B : a x B et a' x B

Les produits partiels obtenus sont ajoutés A x B = a x B + a' x B

Multiplication

= répétition d'additions

3 x 7 = 7 + 7 + 7 = 14 + 7 = 21

3a = a + a + a

Multiplication = sommes de multiplications partielles

12 x 345

= (10 + 2) x 345

= 10 x 345 + 2 x 345

= 3450 + 690

= 4140

Disposition classique

345

x 12

690

3450 (ce zéro est souvent omis)

4140

Preuve par 9

	3+4+5 => 3
3 x 3 => 0		4+1+4+0 => 0
	1+2 => 3

En haut et en bas: les deux facteurs

À gauche le produit

À droite le résultat

Rappel sur la preuve par 9: on ajoute les nombres et on retire 9 chaque fois que cela est possible

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Suite N, O, P …

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