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Nombres - Curiosités, Théorie & Usages

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ABÉCÉDAIRE DU DÉBUTANT

 

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Nombre entier

Opérations

Premier

Quotient

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N

Nombre entier

*  Les nombres entiers sont ceux qui servent habituellement pour compter les moutons, les objets

-          L'ensemble des nombres entiers est noté N

*      Un représentant de cet ensemble est noté n

*      Les grands nombres entiers sont écrits en laissant un espace tous les 3 chiffres

*  Une catégorie de problèmes classique consiste à trouver des résultats qui ne soient que des nombres entiers, à l'exclusion de tout nombre décimal

-          C'est le cas des équations diophantiennes

-          Qui font l'objet d'énigmes nombreuses

-          Car il n'existe pas vraiment de méthode générale pour les résoudre

*  Un nombre entier est

-         soit premier soit composé

-         décomposable de façon unique en facteurs premiers

-         somme d'au plus quatre carrés (Théorème de Lagrange)

-         somme d'au plus 2 premiers s'il est pair et d'au plus 3 premiers s'il est impair (Conjecture de Goldbach)

-         etc.

Exemples de nombres entiers

0, 1, 2 , 3 … 1 240 … 1 325 654

 

Problème typique

-      Je vends la moitié de mes œufs et un demi - œuf.

-      Puis la moitié et 1/2

-      Et encore la moitié et 1/2

-      J'ai tout vendu sans casser d'œuf.

-      Combien d'œufs dans mon panier au départ?

Voir Solution 

 

 

Somme de quatre carrés

5 = 2² + 1²

6 = 2² + 1² + 1²

7 = 2² + 1² + 1² + 1²

8 = 2² + 2²

 

Sommes de 2 ou 3 premiers

32 = 3 + 29        = 13 + 19

33 = 3 + 7 + 23 =  3 + 11 + 19 = …

34 = 3 + 31        = 17 + 17 = …

 

 

 

Attention avec nos
amis anglo-saxons

Nombres entiers

123 456 en français et 123,456 en anglais

Nombres décimaux

123,456 en français et 123.456 en anglais

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Chérie, tu sais ce que raconte le fils du concierge? Il prétend avoir sauté toutes les femmes de l'immeuble sauf une! - Ah, oui! dit son épouse, ben, ça m'étonnerait pas que ce soit la pimbêche du quatrième...

 

Pensées et Humour

 

 

O

Opérations

*  Les quatre opérations classiques et leurs résultats

-          Addition             => somme

-          Soustraction       => différence

-          Multiplication     => produit

-          Division             => quotient et reste

 

*  L'addition et la multiplication de nombres entiers donnent des nombres entiers

*      Cela se passe en famille

*      Ce sont des opérations fermées

*  La soustraction donne aussi des nombres entiers, à condition de les étendre aux nombres négatifs

*  La division donne

-         soit des nombres entiers

-         soit des nombres décimaux lorsque la division ne tombe pas juste

 

*  Autres opérations

-          Élévation à la puissance

-          Racine d'un nombre

-          Calcul d'une proportion (Règle de trois)

-          Calcul du plus grand commun diviseur

-          Calcul du plus petit commun multiple

 

Addition et multiplication

123 + 456  = 579

  12 x   34  = 408

=> On reste dans l'ensemble des entiers

 

Soustraction

456 – 123   =   333

123 – 456   = - 333

=> introduction des nombres négatifs

 

Division

100 / 4 = 25

102 / 4 = 25, 5

103 / 4 = 25, 75

=> introduction des nombres décimaux

 

Puissances

3 x 3             = 3² = carré

3 x 3 x 3       = 33 = cube

3 x 3 x 3 x 3 = 34 = puissance 4

 

Racines

  9  =   3² = 3

3 est la racine carrée de 9

327 = 333 = 3

3 est la racine cubique de 27

481 = 434 = 3

3 est la racine 4e de 81

 

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Celui qui veut aller loin n'économise pas pour le retour

 

 

P

Premier

*  Nombre premier: nombre qui n'est divisible que par 1 et lui-même

-          Les nombres qui se laissent diviser sont les nombres composés

-          Tout nombre composé peut

*      se mettre sous la forme d'un produit de 2 facteurs et

*      se représenter sous la forme d'un rectangle dont les deux côtés sont supérieurs à 1

-          Tout nombre composé est le produit d'une combinaison unique de nombres premiers

*  La famille des nombres premiers compte une infinité d'individus

-          Certains sont espacés de 2 unités; ce sont les nombres premiers jumeaux

-          On pense qu'il y en a aussi une infinité, mais ce n'est pas démontré

Nombre premier

7 forme un rectangle de 1 par 7

 

7

1

1     x        7

 

Nombre composé

8 forme un rectangle de 2 par 4

 

4

2

2  x  4

 

Nombres premiers jumeaux

3 & 5,   5 & 7,  11 & 13 …

 

 

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Vous ne comprenez réellement quelque chose que lorsque vous êtes capable de l'expliquer à n'importe qui dans la rue.

 

 

Q

Quotient

 

&

 

*  La division d'un nombre A (dividende) par un nombre B (diviseur) donne un résultat entier Q (quotient) et un reste R

*      Diviser A par B ne donne pas le même résultat que la division de B par A (bien sûr!)

*      La division donne

*      soit des nombres entiers

*      soit des nombres décimaux lorsque  la division ne tombe pas juste

*  Lorsque nous mesurons une longueur avec un mètre,

-          nous divisons cette longueur en une certaine quantité de mètres et,

-          si cela ne tombe pas juste, nous notons la fraction de mètre qui reste

 

Division

 

A / B = Q avec un reste R

A = B.Q + R

 

Pas la même chose!

 

20 / 4   = 5

  4 / 20 = 0,2

 

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Diviseurs

 

*  Un nombre entier

-         est le produit unique de facteurs,

-         lesquels peuvent se combiner pour donner toute la panoplie des diviseurs d'un nombre

Facteurs et diviseurs

28 = 2 x 2 x 7

Soit 3 facteurs 2, 2 et 7

 

28 est divisible par 1, 2, 4, 7, 14 et 28

Soit 6 diviseurs

Ou  6 diviseurs propres en éliminant le 20

La somme des diviseurs propres est  28. Elle est égale au nombre considéré. On dit que 28 est un nombre parfait

 

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 Suite    R, S, T …

 

 

Voir

*      Jargon mathématique démystifié

*      Brèves de Maths

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