NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 16/05/2014 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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NOMBRES P-ADIQUES

On connaît les fractions continues pour développer un nombre autrement qu'en indiquant ses décimales.

On peut vouloir utiliser un développement avec des fractions ayant toujours le même dénominateur (et ses puissances). Ce sont les développements p-adiques des nombres réels.

Voyez cet exemple avec 0,75, exprimé sous deux formes p-adiques:

APPROCHE

Valeur de la somme de fractions ayant les puissances de p comme dénominateur Avec un nombre entier p comme base du dénominateur, on forme divers nombres décimaux. Est-il possible d'exprimer un nombre réel avec les puissances de p comme dénominateur ? On remarque en particulier que: Conclusion Il semble possible d'exprimer tout nombre en tant que somme de fractions ayant les puissances d'un nombre p comme dénominateur. C'est le développement p-adique de ce nombre.

Procédure
Voici comment s'y prendre avec l'exemple des 2-adiques
Un nombre réel positif	n0	0,45
On lui retire sa valeur entière	e0		0
On conserve la valeur fractionnaire	f1			0,45
On calcule	n1 = f1 . p	0,90
On lui retire sa valeur entière	e1		0
On conserve la valeur fractionnaire	f2			0,90
On calcule	n2 = f2 . p	1,80
On lui retire sa valeur entière	e2		1
On conserve la valeur fractionnaire	f3			0,80
Etc.		1,60
Soit
Programme Maple NP: partie entière FP: partie fractionnaire C: matrice une ligne donnant les numérateurs de 1/p^k

Voir Programmation

Suite	Tables de p-adiques
Voir	Fractions - Glossaire Fractions continues Introduction aux nombres premiers Inventaire des nombres Nombres premiers et nombres composés Représentation des nombres Suites
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