NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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LOGIQUE

 

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Logique

 

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Les 4 femmes

 

Sommaire de cette page

>>> Énigme de Dudeney

>>> Père et enfants

>>> Approche – Qui est l'espion ?

>>> Détermination logique de positions

>>> Introduction aux intégrammes

>>> Les motos

>>> Les coureurs –Trois types de solutions

 

 

 

 

INTÉGRAMMES

ou

LOGIGRAMMES

 

Casse-tête logique.

Représentation en tableaux, permettant de conduire des déductions à partir d'un énoncé de faits partiels.

Quelques énigmes préliminaires pour des se mettre dans l'esprit de ces énigmes.

 

Anglais: Logic Puzzle Solver / Logic grid puzzle

  

 

Énigme de Dudeney pour "mise en bouche"

 

Énigme

Barry, Jasmine et Shamila sont directeur, comptable et ingénieur dans une société.

*    le comptable est un célibataire endurci;

*    Shamila est marrié à un fils de Barry; et

*    Barry comme Shamila gagnent plus que l'ingénieur.

Quelle est la position respective de chaque personne ?

 

Solution

Les tableaux montrent la progression du raisonnement logique.

 

Auteur: Henry E. Dudeney (1857-1930).

 

 

Tableau de chemin du raisonnement

Une croix indique une impossiblité

X1 – Shamila est mariée, le comptable, non.

X2 – Shamila gagne plus que l'ingénieur.

03 – Shamila est la directrice.

X4 – Barry et Jasmine ne sont pas directeurs.

 

X5 – Barry gagne plus que l'ingénieur.

O6 – Barry ne peut être que le comptable.

X7 – Jasmine n'est la comptable.

O8 – Jasmine est l'ingénieure.

 

Voir Brève 48-952 – Retrouvez les activités de chacun

 

 

Père et enfants

haut

 

Énigme

Michel, Kevin, Jean, Albert, Élie et Stéphanie participent à la fête des Pères ainsi qu'au bal de fin d'année.

Trois d’entre eux sont des ados alors que les trois autres sont leurs pères.

1.    Au bal, Stéphanie était accompagnée par le fils de Michel.

2.    Élie et Jean jouaient dans l’équipe de baseball à l’école. L’un est le fils d’Albert.

3.    Michel et Élie n’ont aucun lien de parenté.

Pouvez-vous dire qui est le père de chaque ado?

 

Idées ?

On peut essayer de faire quelques déductions préliminaires à partir de l'énoncé.

 

De l'énoncé 1), on déduit que Stéphanie est la cavalière d'un fils; c'est donc une ado. On s'en doutait, vu le prénom, elle n'est l'un des pères !

 

De l'énoncé 2), Élie et Jean sont des ados car l'un est un fils.

 

 

 

Solution

Nous sommes prêts à établir un tableau Père/ Enfants

 

4 – De 1), le père de Stéphanie n'est pas Michel.

5 – De 2), Élie ou Jean est le fils d'Albert, mais pas Stéphanie.
Alors Stéphanie est la fille de Kevin.

Tableau de vérité

 

Père de qui ?

Michel

Kevin

Albert

Élie

 

X5

 

Jean

 

X5

 

Stéphanie

X4

O5

X5

 

6 – De 3), Michel n'est pas le père d'Élie. Alors Michel est le père de Jean.

7 – Et, Albert est le père d'Élie.

 

Père de qui ?

Michel

Kevin

Albert

Élie

X6

X

O7

Jean

O6

X

X6

Stéphanie

X

O

X

    

Source - Jeux d’énigmes de logique pour mettre votre intelligence à l’épreuve – Émilie Goodman – Sélection du Reader Digest

 

 

Approche - QUI EST L'ESPION ?


 
Énoncé

*    On recherche un espion parmi trois personnes habitant trois maisons contiguës, de nationalités différentes et ayant chacun une activité différente.

*    On sait que:

*      L'Anglais habite au milieu;

*      Le Chinois est musicien;

*      On ne sait rien sur le Français; et

*      L'espion habite la première maison.

*    Quelle est la nationalité de l'espion?

 

 

Raisonnement

*    Je mets en place un tableau et remplis les cases qui me semble évidente d'après l'énoncé.

 

Maison 1

Maison 2

Maison 3

Anglais

Espion

 

*    Le Chinois est musicien: il n'est ni Anglais ni musicien.

 

Maison 1

Maison 2

Maison 3

Anglais

Chinois

Espion

Musicien

 

*    Le Français habite la maison vide

 

Maison 1

Maison 2

Maison 3

Français

Anglais

Chinois

Espion

Musicien

 

*    C'est le Français qui est l'espion.

 

 

 

Note: ce symbole à trois points  veut dire: conclusion.

Il est préféré au symbole  qui signifie implication en logique. 

 

 

 

Détermination logique de positions

 

Énigme

Quatre As retournés en ligne. Retrouvez les couleurs à partir de ces trois propositions:

 

1.   En B, il n'y a ni l'As de Trèfle, ni l'As de Pique;

2.   L'As de Trèfle est plus vers le droite que l'As de Carreau; et

3.   L'As de Carreau et l'As de Cœur ne sont pas à côté l'un de l'autre.

 

Solution – Première étape

 

Traduction simple des déductions extraites des propositions. Les positions interdites sont marquées d'une croix accompagnée d'un indice rappelant le numéro de la proposition.

 

 

Deuxième étape

 

Comment progresser? C'est la troisième proposition qu'il s'agit de mieux exploiter.

L'astuce consiste à se concentrer sur la colonne B, sachant qu'on y trouvera un carreau ou un cœur. Or, si l'un y est, l'autre sera rejeté plus loin (proposition 3). Voyons les deux cas possibles:

*       Avec Carreau en B, le tableau en haut montre que c'est jouable avec Cœur en D.

*       Par contre, avec Cœur en B, c'est impossible pour l'As de Carreau (tableau du bas).

 

 

Pour pouvoir loger l'autre As à distance, la seule possibilté consiste à placer l'As de Carreau en B.

Troisième étape

 

Nous avons donc: As de Carreau en B et As de Cœur en D. Les lignes et colonnes correspondantes sont cochées avec une croix.

 

En colonne A, ne reste qu'une seule possibilité pour l'as de pique. Puis une seule possibilité pour l'as de trèfle.

D'après: Le grand livre des tests d'aptitudes et psychotechniques – Myers, Priet, Souder – Dunod- 2016 – Page 308

Vous trouverez de nombreux autres exemples de tests logiques dans cet ouvrage de 500 pages

 

Bilan à ce niveau

Nous venons de voir comment repérer des positions logiques simples. Nous sommes prêts pour des combinaisons un peu plus élaborées. L'outil, appelé logigramme, reste du même type: des tableaux relais qui aident à repérer les cas possibles et impossibles. 

 

 

 

FORMALISATION DU RAISONNEMENT

Introduction aux intégrammes

 

*    On forme un tableau permettant de positionner toutes les informations deux à deux:

*      nationalités avec maisons

*      nationalités avec activités

*      maisons avec activités

 

*    Nous allons procéder pas à pas pour bien comprendre. L'outil va vous semblez démesuré pour ce problème. Il est effectivement adapté à des énigmes plus complexes. Mais commençons par le simple.

 

Rappel

 

1.    L'Anglais habite au milieu;

2.    Le Chinois est musicien;

3.    On ne sait rien sur le Français; et

4.    L'espion habite la première maison.

 

Intégramme

 

*    On remplit ce qui semble évident d'après l'énoncé.

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

 

 

 

 

2  Oui

 

Anglais

 

1  Oui

 

 

 

 

Français

 

 

 

 

 

 

Espion

4  Oui

 

 

 

Musicien

 

 

 

Autre

 

 

 

 

Première phase:

*    Chacun exerce une activité unique et habite une maison particulière, alors, la connaissance d'une information exclut les deux autres possibilités.

 

Exemple:

*    Anglais en M2  Français pas en M2, Chinois pas en M2.

*    Plaçons un n (non) dans les cases correspondantes

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

Autre

n

 

En pratique un "Oui" est entouré de quatre "non"

 

Deuxième phase:

*    Nous allons enrichir le tableau en établissant des déductions.

*    Si on observe la première ligne: elle dit que le Chinois n'habite pas au 2 et il est musicien.
Déduction: Le musicien n'habite pas au 2

*    Reportons cette info dans le tableau. Mettre non en cellule M2 / Musicien.

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Autre

n

 

 

*    Deux déductions s'imposent:

*      en complétant la ligne "musicien" : il habite la maison 3;

*      en complétant la colonne "maison 2": son habitant exerce une activité inconnue (autre)

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

*    On a connaît complètement le sous-tableau "maison / activités":  espion en M1, Autre en M2 et musicien en M3.

 

Nouvelle déduction

 

*    Le Chinois est musicien, or le musicien habite en 3  alors le Chinois habite en 3.

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

*    En pratique: notez la formation d'une équerre avec les trois "OUI" 

 

Autre cas de double "O"

*    Il existe une verticale à deux "Oui" qui permet une autre déduction: M2 est occupé par l'anglais et par celui qui a une activité inconnue
Déduction: l'anglais à une activité inconnue (autre).

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

n

Oui

Français

n

n

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

 

Puis, on complète le tableau par simple observation:

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

n

Oui

Français

Oui

n

n

Oui

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

*    L'espion est français

 

 

 

 

 LES MOTOS

 

Énoncé

André, Bernard et Claude.

1.     Chacun est sur la moto d'un de ses amis.

2.     Chacun porte le casque d'un autre.

3.     Celui qui porte le casque de Claude conduit la moto de Bernard.

Quel casque porte André?

 

Portons l'énoncé dans l'intégramme

 

André n'est pas sur sa moto (moto A). Idem pour B et C.

André ne porte pas son casque (casque A). Idem pour B et C.

Celui qui est sur une moto ne porte pas le casque du propriétaire de cette moto.

Enfin, sur la moto de Bernard, on trouve quelqu'un qui porte le casque de Claude.

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

1  n

2  n

Bernard

1  n

2  n

Claude

1  n

2  n

Casque A

1&2  n

Casque B

1&2  n

Casque C

3  Oui

1&2  n

 

Complétons la zone du bas

 

Sur la ligne et la colonne du "OUI" présent, plaçons des "non".

La colonne de droite contient deux "non", l rou est complété par un "OUI".

Le troisième "OUI" ne peut que se placer en colonne de droite.

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

n

n

Bernard

n

n

Claude

n

n

Casque A

n

n

Oui

Casque B

Oui

n

n

Casque C

n

Oui

n

 

 

Chacun a un objet de l'un et un objet de l'autre.

Si moto A va avec casque B, c'est qu'ils sont avec C (Claude)

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

n

n

Bernard

n

n

n

Claude

Oui

n

n

n

Casque A

n

n

Oui

Casque B

Oui

n

n

Casque C

n

Oui

n

 

 

Aucune difficulté à compléter par simple lecture

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

n

Oui

n

n

n

Oui

Bernard

n

n

Oui

Oui

n

n

Claude

Oui

n

n

n

Oui

n

Casque A

n

n

Oui

Casque B

Oui

n

n

Casque C

n

Oui

n

 

André porte le casque de Claude

 

 

 

 

LES COUREURS – Trois types de solutions

 

Énoncé

Six coureurs de six nationalités différentes.

Trois marques patronnent chacune deux coureurs.

a) Le 1 et l'Allemand courent pour Mark A,

b) Le 5 et le Belge pour Mark B,

c) Le 3 et l'Espagnol pour Mark C,

d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol,

e) L'Italien et le Français sont devant le 3,

f)  Le 2 et l'Allemand ont abandonné,

g) Le 1 gagne devant l'Italien.

Redonner les dossards par nationalité et par marque.

 

Solution avec simple tableau

 

De a) on déduit: L'Allemand n'a pas le dossard 1.

Avec b) et c) on poursuit: ça n'est pas, non plus, 5 ni 3.

De cette observation, on peut mettre en place une représentation adaptée au problème:

 

1

5

3

Nation

Allemand

Belge

Espagnol

Marque

A

A

B

B

C

C

 

De d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol, on déduit que l'Espagnol n'est pas 2, ni 6. Or on lit sur le tableau qu'il n'est pas ni 1, ni 5, ni 3: il ne reste pour lui que le dossard 4.

De même, avec e) L'Italien et le Français sont devant le 3: Pour le dossard 3: ni Italien, ni Français, ni Allemand, ni Belge, ni Espagnol: il est Anglais.

On complète le tableau:

 

1

5

3

4

Nation

Allemand

Belge

Anglais

Espagnol

Marque

A

A

B

B

C

C

 

De f) Le 2 et l'Allemand ont abandonné, le 2 n'est pas Allemand: il ne reste que Belge; et l'Allemand est 6.

On termine avec g)...

 

1

5

3

4

Nation

Français

Allemand

Italien

Belge

Anglais

Espagnol

Marque

A

A

B

B

C

C

 

 

 

 

Solution avec intégramme

 

Rappel

a) Le 1 et l'Allemand courent pour Mark A,

b) Le 5 et le Belge pour Mark B,

c) Le 3 et l'Espagnol pour Mark C,

d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol,

e) L'Italien et le Français sont devant le 3,

f)  Le 2 et l'Allemand ont abandonné,

g) Le 1 gagne devant l'Italien.

 

Données initiales et première déductions de a), b) et c):

Exemples: de a): le 1 n'est pas Allemand; de a) avec b) et c): l'Allemand n'est ni 5 ni 3.

De f) l'allemande n'est pas 2. Etc.

 

1

2

3

4

5

6

A

B

C

Allemand

n

n

n

 

n

Oui

n

n

Anglais

 

 

 

Belge

n

 

n

 

n

n

Oui

n

Espagnol

n

n

n

 

n

n

n

n

Oui

Italien

n

 

n

 

Français

 

n

 

A

Oui

 

n

 

n

B

n

 

n

 

Oui

C

n

 

Oui

 

n

 

Remplissage quasi-mécanique

 

1

2

3

4

5

6

A

B

C

Allemand

n

n

n

n

n

Oui10

Oui

n

n

Anglais

n

n

Oui1

n

n

n

n

n

Oui2

Belge

n

Oui7

n

n

n

n

n

Oui

n

Espagnol

n

n

n

Oui8

n

n

n

n

Oui

Italien

n

n

n

n

Oui5

n

n

Oui6

n

Français

Oui3

n

n

n

n

n

Oui4

n

n

A

Oui

n

n

n

n

Oui11

B

n

Oui8

n

n

Oui

n

C

n

n

Oui

Oui9

n

n

 

 

 

 

Solution avec les ensembles

 

Rappel

a) Le 1 et l'Allemand courent pour Mark A,

b) Le 5 et le Belge pour Mark B,

c) Le 3 et l'Espagnol pour Mark C,

d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol,

e) L'Italien et le Français sont devant le 3,

f)  Le 2 et l'Allemand ont abandonné,

g) Le 1 gagne devant l'Italien.

(on note les nationalités par leur initiale, avec D pour les Allemands).

 

Raisonnement logique

 

De a), b) et c)

1, D

pour MkA

{1, 5, 3}

{D, B, E}

5, B

pour MkB

{1, 5, 3}

=

{A, I, F}

3, E

pour MkC

{2, 4, 6}

=

{D, B, E}

 

De d)

{2, 6}

=

non E

{2, 6}

=

{D, B}

{2, 4, 6}

=

{D, B, E}

E

=

4

 

De e)

{I, F}

=

non 3

{1, 5}

=

{I, F}

{1, 5, 3}

=

{A, I, F}

A

=

3

                                                                           

De f)

D

=

non 2

D

=

6

{D, B}

=

{2, 6}

B

=

2

                                                                           

De g)

I

=

non 1

I

=

5

{I, F}

=

{1, 5}

F

=

1

                                                                           

 

 

 

 

Bilan

Cette dernière méthode n'est pas simple à suivre, je le reconnais!

Il vaut mieux l'intégramme et déployer un certain systématisme.

Cependant, il existe des cas où une présentation particulière peut rendre service et simplifier.

Attention: il serait dommage que l'outil dispense de raisonner. L'outil doit être une aide facilitant les déductions.

 

 

 

 

Suite

*        Les quatre femmes aux petits soins

*         Enquête des trois hôtels

*         Positionnement autour de la table

Voir

*         Carrés logiques (Mastermind)

*         Énigme des 5 hommes, 5 maisons … (Einstein)

*         Énigmes et paradoxes

*         Intelligence artificielle

*         Jeux - Index

*         Les quatre cartes de Wason

*         Logique booléenne

*         Logique formelle

*         Raisonnement

*         Sudoku

Site

*         Intégrammes – Wikipédia

*         Intégrammes (logigrammes, logigrilles) – Pour jouer.

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