NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER

 

Débutants

Compter

Coefficients du BINÔME

 

Glossaire

Compter

 

 

INDEX

COMBINATOIRE

 

Triangle de Pascal

Partie 1

Partie 2

 

Sommaire de cette page

>>> Relations

>>> Coefficient central

>>> Factorielles tronquées

 

 

 

 

Partie 2

Relations entre coefficients du binôme.

 

 

RELATIONS

 

 

Calcul

Valeurs

 

C0n

= 1

une partie à 0 élément, la partie vide

 

C1n

= n

n parties à 1 élément

 

Cnn

= 1

partie à n éléments

Par définition

Cpn

= 0

si p > n

 

 

 

 

Relations

 

Cpn

= Cn-pn

Règle de symétrie

Règle du complémentaire

Visible sur le triangle de Pascal

1

4

6

4

1

Cpn

= Cp-1n-1 + Cpn-1

Règle de construction

Relation de Pascal

 4

6

 

10

Cpn

= n/p Cp-1n-1

Relation de la diagonale

Exemple 35 = 7/3 x 15

15 

 

 

35

Cpn

= (n-p+1)/p Cp-1n

Relation de l'horizontale

Exemple 35 = (7-3+1) /3 x 21

 

 

21

35

Cp-1n-1

= (n-p+1)/n Cp-1n

Relation de la verticale

Exemple 15 = (7-3+1) /7 x 21

15

 

21

 

Cpn

= C0n-p +… + Cpn-1

Somme de la diagonale

1

2

1

1

3

3

1

4

6

1

5

10

Cpn

= Cp-1n-1-p +… + Cp-1n-1

Somme de la verticale

1

 

2

1

3

3

4

6

5

10

Cpn

= Cqn

Alors: p = q ou p + q = n

C'est lui-même ou son symétrique

1

4

6

4

1

 

 

 

 

Produit

 

Cpn . Ckn+k

= Ckp+k  . Cp+k n+k

Exemple

C24 C37 = C35 C57

6 x 35 = 10 x 21 = 210

 

 

 

 

 

Propriétés

 

Sur une ligne

1

4

6

4

1

2n

= C0n +… + Cnn

La somme d'une ligne complète

est une puissance de 2

1+4+6+4+1= 16 = 24

2n-1

= C0n + C2n + ...

Somme des pairs sur une ligne

1+6+1= 8 = 23

2n-1

= C1n + C3n + ...

Somme des impairs sur une ligne

4 + 4= 8 = 23

0

= C0n -… + Cnn

Somme des termes d'une lignes

alternée plus / moins donne 0

Conséquence

des deux propriétés ci-dessus

1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0

 

Autres

22n

= C02n+1 +…+ Cn2n+1

En gros:

Somme de la moitié d'une ligne

deux fois plus bas

p =

0

1

2

3

4

5

n =0

1

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

1

2

1

 

 

 

3

1

3

3

1

 

 

4

1

4

6

4

1

 

5

1

5

10

10

5

1

Avec n= 2

1 + 5 + 10 = 16 = 24

 

 

 

 

COEFFICIENT CENTRAL

 

*    Le coefficient central est aussi la plus grande valeur rencontrée sur une ligne donnée.

*    Sur l'exemple, on voit qu'il est unique pour les n pairs et double pour les n impairs.

*      Les nombres de Catalan sont ces valeurs centrales divisées par n.

p =

0

1

2

3

4

n =0

1

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

2

1

2

1

 

 

3

1

3

3

1

 

4

1

4

6

4

1

 

 

 

n pair

 

n Impair

max unique = Cn/2n

 

max double = C(n-1)/2n = C(n+1)/2n

ou, valable dans les deux cas et utile pour la programmation Ctrunc(n/2)n

Trunc: prendre l'entier en laissant tomber les décimales.

 

Voir Catalan et Pascal

 

 

 

 

FACTORIELLES TRONQUÉES

 

*    Les factorielles tronquées sont les produits de p nombres consécutifs à partir de n.

 

Propriétés

*    Ce coefficient Cpn+p est égal au produit de p nombres consécutifs divisé par factorielle p.

*    Le produit de n nombres consécutifs est divisible par p!

(n+1)(n+2)…(n+p)

= p!  .  Cpn+p

 

Voir démonstration

 

 

 

 

 

 

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