multiplication des nombres décimaux

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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/06/2018 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Sommaire de cette page >>> APPROCHE >>> MULTIPLICATION >>> RÈGLE >>> PLUSIEURS CHIFFRES >>> BEAUCOUP DE CHIFFRES >>> LA RECETTE FINALE >>> MÉTHODE MODERNE >>> REMARQUE

MULTIPLICATION

DES NOMBRES DÉCIMAUX

Pas évident de savoir combien de zéros

il faut mettre derrière la virgule !

- On va se familiariser;

- Passer les étapes d'approche une à une;

- Et conclure par le truc de calcul.

Pour les gens pressés ou ceux qui connaissent,

on peut passer immédiatement au procédé.

APPROCHE

Trois manières de noter les nombres décimaux

1 *Fractions*	2 *Nombres à virgule*						3 *Moderne*	Qz
1 / 10	0,	1					10^{- 1}	1
1 / 100	0,	0	1				10^{- 2}	2
1 / 1000	0,	0	0	1			10^{- 3}	3
1 / 10 000	0,	0	0	0	1		10^{- 4}	4
1 / 100 000	0,	0	0	0	0	1	10^{- 5}	5

Qz est à la fois

La quantité de zéros des fractions.

La quantité de zéros des nombres à virgule.

La valeur de l'exposant négatif dans la notation moderne .

Notation moderne: on dit plutôt: notation scientifique

MULTIPLICATIONS

Multiplication avec des décimales

*Fractions*		*Nombres à virgule*						*Moderne*	Qz
	1 / 100	0,	0	1				10^{- 2}	2
x	1 / 1000	0,	0	0	1			10^{- 3}	3
=	1 / 100 000	0,	0	0	0	0	1	10^{- 5}	5

On a autant de zéros au-dessus et en-dessous de la barre d'opération. On retrouve tous les zéros dans le produit.

La quantité de zéros Qz dans le produit est la même que celle contenue dans l'opération.

En notation moderne:

l'exposant du résultat est la somme des exposants (5 = 3 + 2).

l'exposant indique la quantité de 0.

Est-ce toujours vrai ?

On va voir qu'il faut tenir compte des débordements.

Un des zéros va être sur la sellette …

Débordement

*Fractions*	*Nombres à virgule*						*Moderne*	Qz
2 / 100	0,	0	2				2 10^{- 2}	2
x 8 / 1000	0,	0	0	8			8 10^{- 3}	3
= 16 / 100 000	0,	0	0	0	0 1	6	16 10^{- 5}	5
1,6 / 10 000	0,	0	0	0	1	6	1,6 10^{- 4}	4

Le produit de 2 par 8 comporte deux chiffres 16:

celui des unités 6 se met à sa place habituelle, en queue des 0;

celui des dizaines 1, éjecte le dernier 0 et prend sa place.

La quantité de zéros est égale:

à celle contenue dans l'opération

moins un, en cas de débordement du produit

Qz - 1

En notation moderne

on obtient un résultat direct: 16 10^{- 5}

et, on peut aussi écrire: 1,6 10^{- 4}

RÈGLE

Pour multiplier deux nombres décimaux:
1	On descend tous les 0 de l'opération; (y compris ceux devant la virgule)
2	On pose le produit des chiffres à la suite des zéros.
2 bis	On laisse déborder le produit des deux chiffres significatifs, au détriment du dernier zéro qui disparaît.

Note: on place les chiffres significatifs les uns en dessous des autres

pour obtenir un effet visuel et pratique

Simple: 0,01 x 0,001 = 0,00001 ou 10^-2 x 10^-3 = 10^-5

Débordement: 0,02 x 0,008 = 0,00016 ou 2 . 10^-2 x 8 . 10^-3 = 16 .10^-5

= 1,6 10^-4

PLUSIEURS CHIFFRES

Et s'il y a plus de chiffres

On effectue la multiplication habituelle des chiffres.

On place le résultat à la suite des zéros

Sauf débordement comme indiqué ci-dessus.

Plusieurs chiffres significatifs

0,0212 x 0,004 = 0,0000848

A		0,	0				2	1	2
B		0,	0	0			4
Règle 1		0,	0	0	0	0
Règle 3	212 x 4 = 848						8	4	8
Résultat		0,	0	0	0	0	8	4	8

Plusieurs chiffres significatifs et débordement

0,0212 x 0,008 = 0,0001696

A		0,	0				2	1	2
B		0,	0	0			8
Règle 1		0,	0	0	0	0
Règle 3	212 x 8 = 1696					1	6	9	6
Résultat		0,	0	0	0	1	6	9	6

BEAUCOUP DE CHIFFRES

Avec beaucoup de chiffres que se passent-ils ?

Toujours la même règle.

On place le résultat à la suite des zéros.

Sauf débordement comme indiqué ci-dessus.

Plusieurs chiffres significatifs

A		0,	0				2	1	2
B		0,	0	0			4	2
Règle 1		0,	0	0	0	0
Règle 4	212 x 42 = 8904						8	9	0	4
Résultat		0,	0	0	0	0	8	9	0	4

Avec débordement

A		0,	0				2	7	5
B		0,	0	0			4	2	3
Règle 1		0,	0	0	0	0
Règle 4	275 x 423 = 116325					1	1	6	3	2	5
Résultat		0,	0	0	0	1	1	6	3	2	5

LA RECETTE FINALE

En pratique

Pour multiplier deux nombres décimaux:
	On calcule le produit des chiffres;
	On note le débordement éventuel;
	On met tous les 0 devant ce résultat;
	Sauf un s'il y a débordement.

Débordement: lorsque le produit des deux chiffres de gauche plus les retenues éventuelles dépassent 10.

Disposition Pratique	0,	0				2	7	5
x	0,	0	0			4	2	3
Produit: 275 x 423 =					1	1	6	3	2	5
Notez le débordement
Il y a 5 zéros	0	0	0	0	0
Résultat	0,	0	0	0	1	1	6	3	2	5

0,0275 x 0,00423 = 0,00011632

MÉTHODE MODERNE

Revoyons ce que cela donne en notation moderne:

On multiplie les nombres; et

On ajoute les exposants.

Calcul moderne

0,0275 x 0,00423 = ?

10^{- 2}

x 4,

10^{- 3}

= 11,

= 0,

6325

116325

000116325

10^{- 5}

10^{- 3}

On maîtrise le procédé. C'est plus sûr

REMARQUES

Notations en puissances de 10

	*Il y a deux possibilités selon que* *la puissance de 10 commence par:*
*Avec virgules*	*un nombre entier*	*un zéro*
0,02	2 10^{- 2}	0, 2 10^{- 1}
x 0,004	x 4 10^{- 3}	x 0, 4 10^{- 2}
= 0,0000 8	= 8 10^{- 5}	= 0, 08 10^{– 3} = 0,8 10 ^{– 4}

Cette notation	élimine tous les zéros	conserve le premier zéro
Exposant =	quantité de zéros	quantité de zéros derrière la virgule
Le produit	est un entier parfois à deux chiffres	peut comporter des zéros en plus
Quelle méthode ?	Pratique ! On compte la quantité de zéros	Celle-ci est utilisée par les scientifiques
	En particulier, pour ce procédé de calcul mental Cela marche même pour ceux qui ne connaissent pas les puissances:	Ceux-ci sont de toute manière très à l'aise avec la manipulation des puissances Par exemple, il faut savoir que 10⁰ = 1
Exemple de difficulté	0, 2 = 2 10^{- 1}	0, 2 = 0,2 10^{- 0}

Suite

Le terrain de basket (CM2)

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