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Édition du: 20/12/2020

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Nombres ab+bc+ca

 

 

 

NOMBRES ab + bc + ca

Nombres pavés

Nombres O'Halloran

 

Les nombres qui ne sont pas de cette forme sont sans doute limités à 18 représentants:

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition et liste

>>> Propriétés

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

Approche

haut

 

 

Dressons le tableau des valeurs de S = ab + bc + ca pour les valeurs successives de a, b et c.

 

Dans la colonne S, on met en rouge les nombres dès leur première occurrence et on reporte cette valeur dans la colonne SOrdonné pour identifier les valeurs trouvées par ordre croissant.

 

Une analyse assez courte (jusqu'à 2, 2, 4) révèle que tous les nombres sont couverts jusqu'à 20, sauf:
1, 2, 4, 6, 10 et 18.

 

Une exploration plus poussée montre que ces six nombres sont résistants: aucune valeur de (ab + bc + ca) ne peut les atteindre.

Ils constituent le début de la liste des nombres non (ab+bc+ca).

 

 

Définition et liste

haut

 

Les nombres N = ab + bc + ca sont tous ceux qui sont atteignables par cette formule pour des valeurs de a, b et c positives (non nulles).

 

N = ab + bc  + ca

{3, 5, 7, 8, 9, 11, 12 …}

 

Les nombres nN = non(ab + bc + ca) sont tous ceux qui ne sont pas atteignables par cette formule pour des valeurs de a, b et c positives (non nulles).

On pense que cette liste est complète.

 

nN = jamais ab + bc  + ca

{1, 2, 4, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462}

 

 

Propriétés

haut

 

Les nombres nN = non(ab + bc + ca) auxquels on ajoute 1 sont premiers.

 

Tous les nombres, premiers comme composés, au-delà de 462 sont accessibles avec la formule ab + ba + ca.

 

nN + 1  sont des nombres premiers

{2, 3, 5, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 59, 71, 79, 103, 131, 191, 211, 331, 463}

Les grands nombres sont accessibles par cette formules un très grand nombre de fois.

Par exemple, six fois pour 463 et vingt fois pour 464.

463, 1, 3, 115

463, 1, 7, 57

463, 1, 15, 28

463, 3, 5, 56

463, 7, 9, 25

463, 8, 9, 23

464, 1, 2, 154

464, 1, 4, 92

464, 1, 14, 30

464, 2, 2, 115

464, 2, 4, 76

464, 2, 7, 50

464, 2, 10, 37

464, 2, 11, 34

464, 2, 16, 24

464, 3, 8, 40

464, 4, 4, 56

464, 4, 6, 44

464, 4, 8, 36

464, 4, 11, 28

464, 4, 12, 26

464, 4, 16, 20

464, 6, 14, 19

464, 7, 12, 20

464, 8, 8, 25

464, 8, 14, 16

 

Nombres pavés

Le double des nombres nN représente l'aire totale des faces d'un pavé de dimension (a, b, c).

 

S = 2ab + 2bc + 2ca = 2N

 

Conséquence, l'aire des faces ne sera jamais:
{2, 4, 8, …,  924} pour a, b et c positifs (non nuls).

 

 

S = 2 (ab + bc + ca)

 

S = aire des faces du pavé, jamais:

{2, 4, 8, 12, 20, 36, 44, 60, 84, 116, 140, 156, 204, 260, 380, 420, 660, 924}

 

Voir Brève 542

 

 

 

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Sites

*      OEIS A025052 Numbers not of form ab + bc + ca for 1<=a<=b<=c

*       OEIS A246850Even numbers which cannot be represented by the surface area of a n1*n2*n3 block

*      O'Halloran numbers – Numbers Aplenty

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPFORM/Nbabbcca.htm