NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des NOMBRES

 

Débutants

Général

Courbes elliptiques

 

Glossaire

Ellipse / Elliptique

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Introduction

Nombres congruents

Vers l'elliptique

Eq. de Bachet

Rang des courbes elliptiques

 

Sommaire de cette page

>>> Points rationnels – Notion de RANG

>>> Rang d'une courbe

>>> Point des connaissances

 

 

 

RANG des COURBES ELLIPTIQUES

 

Rang d'une courbe elliptique: nombre qui donne la quantité minimale de points rationnels qui conduisent à la construction de tous les points rationnels de la courbe.

Cas du cercle: un seul point suffit pour trouver l'infinité des points rationnels du cercle.

Question: Existe-t-il une limite au rang des courbes elliptiques? Une démonstration en vue: actualités 2018.

 

 

 

 

Points rationnels – Notion de RANG

 

Triplets de Pythagore

 

Les triplets de Pythagore peuvent se mettre sous la forme:

 

On sait que pour cette équation du cercle de rayon unité, il existe une infinité de solutions pour x et y, des nombres rationnels.

 

Le graphe ci-contre illustre une propriété qui permet de trouver des points rationnels sur une courbe à partir du moment où on en connait un.

*    Le point (x = 0; y = 1) est rationnel, par exemple.

*    Les droites dessinées ont des pentes rationnelles.

*    Alors, les points d'intersection sont rationnels.

Exemple: avec la droite: y = 1 – 2x

      => intersection en (0,8; -0,6)

            et (0,8)² + (-0,6)² = 1

 

 

Cercle y² + x² = 1

 

Droites magenta: y = 1 – x/2 et y = 1 – 2x

Droites bleues:     y = 1 – x/3 et y = 1 – 3x

 

Infinité de points rationnels

 

La méthode de construction des points rationnels peut être appliquée aux nouveaux point rationnels.

 

Les droites bleue et verte, construites à partir de l'intersection de la droite magenta,  illustrent cette propriété.

 

Ici, la construction peut se répéter à l'infini du fait qu'il existe une infinité de triplets de Pythagore.

 

Ce qui est important pour le cercle: en partant d'un seul point, il est possible de trouver tous les points rationnels du cercle.
1 seul point => TOUS les points
                         => Courbe de RANG 1

 

 

Mais, ce n'est pas toujours le cas. Alors combien faut-il de points de départ pour trouver tous les points rationnels de la courbe ?

 

 

Propagation des points rationnels

La droite magenta coupe le cercle en deux points rationnels. À partir  de l'un d'eux, les droites à pente rationnelle coupent également le cercle en des points rationnels.

 

Triplets de Fermat-Wiles

 

Le théorème de Fermat-Wiles affirme que:

an  + bn = cn

n'a pas de solution en nombres entiers pour n > 2.

 

 

Ce qui revient à dire, par exemple:

 

Cette équation, n'a pas de solution en nombres rationnels positifs: a/c et b/c.

 

 

 

 

Rang d'une courbe

 

Rang d'une courbe

 

Le rang est la quantité de points rationnels indépendants permettant de trouver tous les points rationnels de la courbe. C'est un invariant qui caractérise la courbe.

 

Théorème de Mordel (1922)

Pour une courbe elliptique, il existe un ensemble fini de points rationnels tel que tout point rationnel de la courbe s'obtienne à partir de ces points par un nombre fini d'applications de la méthode de la sécante ou de la tangente. Le rang est le cardinal de cet ensemble.

 

Le cercle est de rang 1,

*      Même s'il possède une infinité de points rationnels.

*      Même si son équation est de degré 2 (équation quadratique).

 

Rang nul

Les courbes elliptiques qui n’ont qu’un nombre fini de points rationnels sont de rang 0.

 

Courbes elliptiques

Leur équation: y2 = x3 + Ax+ B

Leur cas est intéressant car elles sont  l'étape après les cercles (passage du degré 2 au degré 3). Ce sont les courbes les plus compliquées pour lesquelles les mathématiciens ont une certaine maitrise. (Note: Ces sont les courbes non-rationnelles les plus simples).

La limite de la quantité de points de départ pour couvrir tous les points rationnels des courbes elliptiques n'est pas connue. La connaissance du rang des courbes elliptiques est une question ouverte.

 

Le rang des courbes elliptiques

Le rang est une indication de la complexité de la courbe: plus il est élevé, plus l’ensemble des solutions rationnelles de la courbe est vaste et complexe. Il est très difficile à calculer.

 

Les points rationnels de y2 = x3 – 4x + 1

 

Source Kevin Hartnett

 

Note: La courbe est constituée de deux morceaux, de deux composantes connexes.

D'une manière théorique

Aucune méthode ne permet actuellement de déduire le rang à partir de la fonction représentant la courbe. Un simple changement de coefficient et le rang est modifié, et parfois très notablement.

 

 

Limite ou pas limite ?

Les mathématiciens pensaient qu'il y avait une limite au rang d’une équation algébrique.

Dans, les années 1970, la plupart des mathématiciens en sont venus à penser que le rang n'est pas borné, ce qui signifie qu'il devrait être possible de trouver des courbes algébriques ayant un rang arbitrairement élevé.

En 2018, le balancier repart vers l'existence d'une limite.

 

 

Exemples

y2 = x3 + 1

Points rationnels: 5

Rang: 0

y2 = x3 + 8

Points rationnels: infinité

Rang: 1

 

Les quatre courbes les plus simples de rang 0 à 3

 

Point des recherches et rang 21

 

Dorian Goldfefd

En 1979, il conjecture que globalement, la moitié des courbes elliptiques sont de rang 0 et l'autre moitié de rang 1.

De fait, elles sont très majoritaires, mais il en existe "un peu" de rang supérieur.

 

Noam Elkies (Harvard).

Il détient le record d'une courbe elliptique de rang 28, découverte en 2006.

 

Andrew Granville

En 2008, trouve qu'au-delà du rang 21, il y a un nombre limité de courbes elliptiques de rang supérieur.

 

Manjul Bhargava et Arul Shankar

En 2010, ils établissent ce théorème:

Lorsque les courbes elliptiques sont ordonnées par hauteur, leur rang moyen est au plus égal à 1,5.

 

Jennifer Park, Bjorn Poonen and Melanie Wood, John Voight (Ohio)

En 2018, cette équipe suggère qu'il existe une limite et, en fait, elle ne serait pas très grande. Ils confirment que:

 

Il n'y a qu’un nombre fini de courbes elliptiques ayant un rang supérieur à 21. L'une d'entre-elles doit donc forcément avoir le rang le plus élevé dans le lot, ce qui signifie que le rang est borné.

 

 

Modélisation

L'équipe de Jennifer Park utilise un modèle qui ressemble aux courbes elliptiques: les noyaux de certaines matrices définies sur des corps fini. Plus faciles à étudier.

La distribution des dimensions du noyau est supposée proche celles des rangs des courbes elliptiques.

Cette supposition n'est pas gratuite. Tous les travaux effectués avec ce modèle se sont avérés fructueux, avec, à la clé, même quelques preuves.

 

Familles de courbes elliptiques

On a montré que pour beaucoup de familles, le rang est borné. Une bonne piste pour corroborer les conclusions de 2018.

 

Point final?

Noam Elkies prétend sagement que le domaine n'est pas assez connu pour conjecture une limite ou non.

Un défi toujours vivant …

 

 

 

 

 

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Sites

*           Théorie des nombres : combien d’indices remplacent une preuve? – Philippe Ribeau – 11/2018

*           Le rang des courbes elliptiques – François Brunaut - 2012

*           New Proof Shows Infinite Curves Come in Two Types – Kevin Hartnett – 11/2018

*         Without a Proof, Mathematicians Wonder How Much Evidence Is Enough – Kevin Hartnett – 10/2018

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/EllipRan.htm