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Probabilités

 

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Lois de probabilités

 

Glossaire

Probabilités

 

 

INDEX

 

Combinatoire

 

Probabilités

 

Introduction

Loi de Bernoulli

Loi Binomiale

Loi de Poisson

Table Poisson

Première

 

Sommaire de cette page

>>> Loi binomiale

>>> Exemple – Lancer de dés

 

 

 

 

LOI BINOMIALE

Schéma de Bernoulli

 

Loi de probabilité équivalent à celle de Bernoulli, mais répétée n fois. Dit-autrement: répétition du lancer de pièces ou du lancer de dés, par exemple.

Nous allons devoir compter, ou plus exactement dénombrer, et faire apparaitre un outil souvent présent dans ce genre de cas: les coefficients du binôme. D'où le nom de loi binomiale.

 

 

 

Loi binomiale

Schéma de Bernoulli

Répétition de n épreuves de Bernoulli

identiques et indépendantes.

Loi binomiale B(n; p)

*       Loi de Bernoulli de probabilité p (entre 0 et 1).

*       Répétée n fois (n est un entier).

*       Variable aléatoire X définie par la quantité de succès.

*       La loi de probabilité de X s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p.

 

 

Exemple du lancer de dés: B(3; 1/6)

 

L'expérience (ou schéma de Bernoulli)

 

Trois lancers de dés de suite (ou un lancer de trois dés).

 

La variable aléatoire X donne la quantité de fois où on obtient 6.

 

On commence par dessiner l'arbre des possibilités: en bleu succès avec probabilité de 1/6; et en rouge échec avec probabilité de 5/6.

On compte à destination la quantité de succès et d'échecs sur le chemin. Le chemin du haut compte trois succès. La probabilité est égale à: (1/3) x (1/3) x (1/3) = (1/3)3

 

 

Loi de probabilité

Évidemment, la somme des probabilités vaut 1.

 

Note: Les coefficients appliqués aux probabilités sont 1 3 3 1. Ce sont les mêmes que ceux du développement du cube (a+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 . Ce sont les coefficients du binôme ou coefficients binomiaux..

 

Espérance

 

Remarquez que pour B(3; 1/6), on a E = 3 x 1/6 = 1/2

 

Variance

 

Remarquez que pour B(3; 1/6), on a E = ½ et V = 1/2 (1-1/6) = 5/12 = 0,4166…

 

 

 

Exemple du lancer de pièces: B(4; 0,6)

 

L'expérience (ou schéma de Bernoulli)

 

Quatre lancers de pièces de suite (ou un lancer de quatre pièces).

 La pièce est plombée et la probabilité de tombe sur pile est égale à p = 0,6; alors q = 1 – p = 0,4

 

La variable aléatoire X donne la quantité de fois où on obtient pile.

 

 

 

Loi de probabilité

 

Note: Sous cette forme générique en p et q, on reconnait bien le développement du cube de (p + q).
Passage du cube à la puissance 4: chaque coefficient est la somme des deux d'avant

1 3 3 1 =>    1    4(=1+3)    6(=3+3)    4(=3+1)     1

 

Espérance

 

 

Remarquez que pour B(4; 0,6), on a E = 4 x 0,6 = 2,4

 

Variance

 

Remarquez que pour B(4; 0,6) on a E = 2,4 et V = 2,4 (1 – 0,6) = 5/12 = 0,96…

 

 

 

Expression de la loi binomiale: B(n; p)

 

Probabilité

 

Variable aléatoire qui prend les n+1 valeurs {0, 1, .., n} avec la probabilité:

 

 

 

Exemples

 

B(8; 0,7):

 

 

Calcul des coefficients

 

 

Espérance et variance

 

 

 

 

Exemples

 

B(8; 0,7):

 

 

Voir Calcul des coefficients du binôme

 

 

Concours de balltrap: B(10; 0,7)

 

Tireur qui atteint sa cible avec une probabilité de 0,7.

Avec 10 essais, quelle est la probabilité d'atteindre exactement 5 fois la cible.

 

 

Pour une espérance de

qui indique que le tireur peut espérer réussir 7 coups sur 10 tirs (ce qui semble logique compte tenu de la valeur de la probabilité.

 

Plus de cinq fois la cible:

Somme des cas 6, 7, 8, 9  et10.

 

Combien de tirs (n) pour atteindre la cible au moins une fois avec une probabilité de 0,9.

Il est plus facile calculer la probabilité de l'événement contraire: il n'atteint jamais sa cible: P(X=0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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