Division rapide avec additions

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INDEX Calcul Puissance Décomposition	Fonctions	Dévelop. (1 + x)^a	Dévelop 1 / rac(1 – 2x)
	Division rapide	Division de polynômes
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Division rapide par additions

Application des développements limités

Un exemple de calcul rapide appliqué à la division qui permet d'estimer rapidement un ordre de grandeur (presque) de tête.

La qualité du résultat est d'autant plus grande que le diviseur est proche d'une puissance de 10.

D'autres calculs (racine carrée, exponentielle …) sont faisables de la même manière.

Division rapide – Principe
Dans le cas où le diviseur est proche d'une puissance de 10, il est possible de calculer rapidement un ordre de grandeur du quotient en utilisant ce développement limité (qui est, dans ce cas, la formule de la série géométrique). *Voyons le principe*		Le petit o indique que l'erreur est de l'ordre de la puissance quatrième.
On isole une fraction avec dénominateur inférieur à 1.
Le dénominateur est mis sous la forme du complément à 1.
La fraction de droite peut être exprimée par un développement limité (d étant petit).

Division rapide – En pratique
Calculez	75 / 95 = 0,7894738…
Calcul complet du second ordre Mettre la fraction sous la forme du développement. On a pris 5, le complément de 95 à 100.
Calcul mental du premier ordre On profite du 5 pour multiplier par 10 et diviser par 2.	75 + 5% = 75 + 7,5 / 2 = 75 + 3, 75 = 78,75 Résultat: 0,7875 (0,25 %)
Calcul mental du second ordre Un peu moins facile en calcul mental. On peut simplement dire: j'ajoute une toute petite "pincée": 0,7875 => 0,789.	78, 75 + 25_{pour 10 000} de 75 (ou 25% de 0,75) 78, 75 + 0,2 (approximation) 78, 95 Résultat: 0,7895 (0,003%)

Division rapide – Vite faite !
Calculez	789 / 987 = 0,7993920973…
Calcul mental du premier ordre	789 + 7,9 + 2,4 = 799,3 Résultat: 0,7993 (0,01%)
Calculez	1234 / 987 = 1,250253293…
Calcul mental du premier ordre	1234 + 12,34 + 3,7 = 1250,04 Résultat: 1,25004 (0,017%)

Appréciation de la pertinence
Graphes On cherche à apprécier la qualité de l'approximation. Rouge: 1 / (1 – x) Bleue: 1 + x Verte: 1 + x + x² Erreur vite importante avec le premier ordre; même avec le second ordre, ne pas dépasser x = 0,2
Exemples de calculs (exacts) avec les formules d'approximations du premier (erreur en %) et du second ordre (erreur en pour 10000).

Merci à Anthony Canu pour l'idée de cette page

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